Question

設M為拋物線C：x²=4py（p＞0）準線上的任意一點，過點M作曲線C的兩條切線，設切點為A、B．
（Ⅰ）直線AB是否過定點？如果是，求出該定點，如果不是，請說明理由；
（Ⅱ）當直線MA，MF，MB的斜率均存在時，求證：直線MA，MF，MB的斜率的倒數成等差數列．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設M（m，-p），兩切點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由x²=2py，得y=

1

4p

x2，求導得兩條切線方程為y-y₁=

1

2p

x1(x-x1)，y-y2=

1

2p

x2(x-x2)，從而求出x₁，x₂為方程x²-2mx-4p²=0的兩根，由此能求出直線恒過定點（0，p）．
（Ⅱ）設M（m，-p），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x1+x2=2m，x1x2=-4p2，由此能證明直線MA，MF，MB的斜率倒數成等差數列．

解答： （Ⅰ）解：設M（m，-p），兩切點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由x²=2py，得y=

1

4p

x2，求導得y′=

1

2p

x．
∴兩條切線方程為y-y₁=

1

2p

x1(x-x1)，①
y-y2=

1

2p

x2(x-x2)，②…2分
對于方程①，代入點M（m，-p）得，-p-y₁=

1

2p

x1(m-x1)，
又y1=

1

4p

x12，
∴-p-

1

4p

x12=

1

2p

x1(m-x1)，
整理得：x12-2mx1-4p2=0，
同理對方程②有x22-2mx2-4p2=0，
即x₁，x₂為方程x²-2mx-4p²=0的兩根．
∴x₁+x₂=2m，x₁x₂=-4p²，③…4分
設直線AB的斜率為k，k=

y2-y1

x2-x1

=

x22-x12

4p(x2-x1)

=

1

4p

(x1+x2)，
∴直線AB的方程為y-

x12

4p

=

1

4p

(x1+x2)(x-x1)，
展開得：y=

1

4p

（x₁+x₂）x-

x1x2

4p

，
代入③得：y=

m

2p

x+p，∴直線恒過定點（0，p）．…6分
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）的結論，設M（m，-p），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
且有x1+x2=2m，x1x2=-4p2，
∴kMA=

y1+p

x1-m

，kMB=

y2+p

x2-m

，
∴

1

kMA

+

1

kMB

=

x1-m

y1+p

+

x2-m

y2+p

=

x1-m

x12 4p +p

+

x2-m

x22 4p +p

=

4p(x1-m)

x12+4p2

+

4p(x2-m)

x22+4p2

=

4p(x1-m)

x12-x1x2

+

4p(x2-m)

x22-x1 x2

=

4p(x1-m)x2-4p(x2-m)x1

x1 x2(x1-x2)

=

4pm

x1x2

=

4pm

-4p2

=-

m

p

，
又∵

1

kMP

=

m

-p-p

=-

m

2p

，
∴

1

kMA

+

1

kMB

=

2

kMP

．
即直線MA，MF，MB的斜率倒數成等差數列．…13分

點評：本題考查直線是否恒過定點的判斷，考查三條直線的斜率倒數成等差數列的證明，考查圓錐曲線切線，直線過定點，圓錐曲線計算能力等，是難題．