已知函數(shù)f﹙x﹚=loga(1+x),g﹙x﹚=loga﹙x-1﹚﹙a>0且a≠1﹚.
①求函數(shù)f﹙x﹚+g﹙x﹚的定義域;
②判斷函數(shù)f﹙x﹚+g﹙x﹚的奇偶性并說明理由;
③求使f﹙x﹚-g(2x)>0成立的x的集合.
考點(diǎn):對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用
專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析:①要使函數(shù)f﹙x﹚+g﹙x﹚有意義,需
x+1>0
x-1>0
,由此求得函數(shù)f﹙x﹚+g﹙x﹚的定義域.
②根據(jù)函數(shù)F(x)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,可得函數(shù)F(x)是非奇非偶函數(shù).
③要解的不等式即loga(1+x)>loga(2x-1),分當(dāng)a>1時(shí) 和當(dāng) 0<a<1時(shí)兩種情況,分別利用對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域及單調(diào)性求得不等式的解集.
解答: 解:①∵函數(shù)f﹙x﹚=loga(1+x),g﹙x﹚=loga﹙x-1﹚,
要使函數(shù)f﹙x﹚+g﹙x﹚有意義,需
x+1>0
x-1>0
,解得x>1,
故函數(shù)f﹙x﹚+g﹙x﹚的定義域?yàn)椋?,+∞).
②令F(x)=f﹙x﹚+g﹙x﹚,則由①可得函數(shù)F(x)的定義域?yàn)椋?,+∞),
不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,故函數(shù)F(x)是非奇非偶函數(shù).
③由f﹙x﹚-g(2x)>0可得 loga(1+x)>loga(2x-1),
當(dāng)a>1時(shí),不等式化為1+x>2x-1>0,解得
1
2
<x<2,故不等式的解集為(
1
2
,2);
當(dāng) 0<a<1時(shí),不等式化為2x-1>x+1>0,解得 x>2,故不等式的解集為(2,+∞).
點(diǎn)評(píng):本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)綜合應(yīng)用,對(duì)數(shù)不等式的解法,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.
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過原點(diǎn)的直線交雙曲線x2-y2=4
2
于P,Q兩點(diǎn),現(xiàn)將坐標(biāo)平面沿直線y=-x折成直二面角,則折后線段PQ的長度的最小值等于
 

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下列4個(gè)命題:
(1)若a<b,則am2<bm2;(2)函數(shù)f(x)=
1
log
1
2
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2x-1
2x+1
的值域?yàn)椋?1,1).其中正確的命題個(gè)數(shù)是( 。
A、1B、2C、3D、0

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某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出x與銷售額y(單位:百萬元)之間有如下的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù):
x 2 4 5 6 8
y 30 40 50 60 70
(1)請(qǐng)畫出表中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;
(2)請(qǐng)根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程y=
b
x+
a
;
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(Ⅰ)求證:BE∥平面ACF;
(Ⅱ)設(shè)二面角A-CF-D的大小為θ,若|cosθ|=
42
14
,求PA的長.

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