Question

18．設(shè)f_n（x）=x+x²+…+xⁿ-1，x≥0，n∈N，n≥2．
（Ⅰ）求f_n′（2）；
（Ⅱ）證明：f_n（x）在（0，$\frac{2}{3}$）內(nèi)有且僅有一個零點（記為a_n），且0＜a_n-$\frac{1}{2}$＜$\frac{1}{3}$（$\frac{2}{3}$）ⁿ．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將已知函數(shù)求導(dǎo)，取x=2，得到f_n′（2）；
（Ⅱ）只要證明f_n（x）在（0，$\frac{2}{3}$）內(nèi)有單調(diào)遞增，得到僅有一個零點，然后f_n（a_n）變形得到所求．

解答 解：（Ⅰ）由已知，f′_n（x）=1+2x+3x²+…+nx^n-1，
所以$f{′}_{n}（2）=1+2×2+3×{2}^{2}+…+n•{2}^{n-1}$，①
則2f′_n（2）=2+2×2²+3×2³+…+n2ⁿ，②，
①-②得-f′_n（2）=1+2+2²+2³+…+2^n-1-n•2ⁿ=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}-n•{2}^{n}$=（1-n）2ⁿ-1，
所以$f{′}_{n}（2）=（n-1）{2}^{n}+1$．
（Ⅱ）因為f（0）=-1＜0，f_n（$\frac{2}{3}$）=$\frac{\frac{2}{3}[1-（\frac{2}{3}）^{n}]}{1-\frac{2}{3}}$-1=1-2×$（\frac{2}{3}）^{n}$≥1-2×$（\frac{2}{3}）^{2}$＞0，
所以f_n（x）在（0，$\frac{2}{3}$）內(nèi)至少存在一個零點，
又f′_n（x）=1+2x+3x²+…+nx^n-1＞0，所以f_n（x）在（0，$\frac{2}{3}$）內(nèi)單調(diào)遞增，
所以f_n（x）在（0，$\frac{2}{3}$）內(nèi)有且僅有一個零點a_n，由于f_n（x）=$\frac{x-{x}^{n+1}}{1-x}-1$，
所以0=f_n（a_n）=$\frac{{a}_{n}-{{a}_{n}}^{n+1}}{1-{a}_{n}}-1$，
所以${a}_{n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}{{a}_{n}}^{n+1}＞\frac{1}{2}$，故$\frac{1}{2}＜{a}_{n}＜\frac{2}{3}$，
所以0＜${a}_{n}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}{{a}_{n}}^{n+1}＜\frac{1}{2}×（\frac{2}{3}）^{n+1}=\frac{1}{3}（\frac{2}{3}）^{n}$．

點評 本題考查了函數(shù)求導(dǎo)、錯位相減法求數(shù)列的和、函數(shù)的零點判斷等知識，計算比較復(fù)雜，注意細(xì)心．