Question

已知函數f（x）=

1+lnx

x

．
（1）若函數f（x）在區(qū)間（a，a+

1

3

）（a＞0）上存在極值點，求實數a的取值范圍；
（2）當x≥1時，不等式f（x）≥

k

x+1

恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用,利用導數研究函數的極值

專題：綜合題,導數的綜合應用

分析：（1）求導數，確定函數f（x）在x=1處取得極大值，根據函數在區(qū)間（a，a+

1

3

）（a＞0）上存在極值點，可得

a＞0 a＜1＜a+ 1 3

⇒

2

3

＜a＜1，即可求實數a的取值范圍；
（2）當x≥1時，分離參數，構造g(x)=

(x+1)(1+lnx)

x

，(x≥1)，證明g（x）在[1，+∞）上是單調遞增，所以[g（x）]_min=g（1）=2，即可求實數k的取值范圍．

解答： 解：（1）函數f（x）定義域為（0，+∞），f′(x)=

1 x •x-(1+lnx)•1

x2

=-

lnx

x2

，
由f′（x）=0⇒x=1，當0＜x＜1時，f′（x）＞0，當x＞1時，f′（x）＜0，
則f（x）在（0，1）上單增，在（1，+∞）上單減，
所以函數f（x）在x=1處取得唯一的極值．
由題意得

a＞0 a＜1＜a+ 1 3

⇒

2

3

＜a＜1，故所求實數a的取值范圍為(

2

3

，1)
（2）當x≥1時，不等式f(x)≥

k

x+1

?

1+lnx

x

≥

k

x+1

?k≤

(x+1)(1+lnx)

x

．
令g(x)=

(x+1)(1+lnx)

x

，(x≥1)，由題意，k≤g（x）在[1，+∞）恒成立．g′(x)=

[(x+1)(1+lnx)]′•x-(x+1)(1+lnx)•x′

x2

=

x-lnx

x2

令h（x）=x-lnx（x≥1），則h′(x)=1-

1

x

≥0，當且僅當x=1時取等號．
所以h（x）=x-lnx在[1，+∞）上單調遞增，h（x）≥h（1）=1＞0
因此g′(x)=

x-lnx

x2

=

h(x)

x2

＞0，則g（x）在[1，+∞）上單調遞增，g（x）_min=g（1）=2
所以k≤2，即實數k的取值范圍為（-∞，2]．

點評：本題考查導數知識的綜合運用，考查函數的單調性與極值、最值，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．