Question

 如圖，在三棱錐中，，，，，， 點，分別在棱上，且_，

   （1）求證：平面；

   （2）當為的中點時，求與平面所成的角的正弦值；

   （3）是否存在點使得二面角為直二面角？并說明理由．

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（法1）（Ⅰ）∵，，，∴PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.又，∴AC⊥BC.∴BC⊥平面PAC.

   （Ⅱ）∵D為PB的中點，DE//BC，∴，

又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，垂足為點E.

∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角，∵PA⊥底面ABC，

∴PA⊥AB，又PA=AB，∴△ABP為等腰直角三角形，

∴，∴在Rt△ABC中，，∴.

∴在Rt△ADE中，，

∴與平面所成的角的大小.

   （Ⅲ）∵AE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，

又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，

∴∠AEP為二面角的平面角，∵PA⊥底面ABC，

∴PA⊥AC，∴.∴在棱PC上存在一點E，使得AE⊥PC，

這時，故存在點E使得二面角是直二面角.

   （法2）如圖，以A為原煤點建立空間直角坐標系，設，

由已知可得，，，.

   （Ⅰ）∵，，∴，

∴BC⊥AP.又∵，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.

   （Ⅱ）∵D為PB的中點，DE//BC，∴E為PC的中點，

∴，，∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，

∴DE⊥平面PAC，垂足為點E.∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角，

∵，

∴，

∴與平面所成的角的正弦值為。

   （Ⅲ）∵DE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，

又∵DE平面PAC，DE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，

∴∠AEP為二面角的平面角，∵PA⊥底面ABC，

∴PA⊥AC，∴.∴在棱PC上存在一點E，

使得AE⊥PC，這時，

故存在點E使得二面角是直二面角.