Question

17．設F為拋物線C：y²=3x的焦點，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點，O為坐標原點，則△OAB的面積為（　�。�

• A． $\frac{3\sqrt{3}}{4}$
• B． $\frac{9\sqrt{3}}{8}$
• C． $\frac{63}{32}$
• D． $\frac{9}{4}$

Answer 1

分析 由拋物線方程求出焦點坐標，由直線的傾斜角求出斜率，寫出過A，B兩點的直線方程，和拋物線方程聯立后化為關于y的一元二次方程，由根與系數關系得到A，B兩點縱坐標的和與積，把△OAB的面積表示為兩個小三角形AOF與BOF的面積和得答案．

解答 解：由y²=2px，得2p=3，p=$\frac{3}{2}$，
則F（$\frac{3}{4}$，0）．
∴過A，B的直線方程為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-$\frac{3}{4}$），
即x=$\sqrt{3}$y+$\frac{3}{4}$．
聯立 $\left\{\begin{array}{l}{y}^{2}=3x\\ x=\sqrt{3}y+\frac{3}{4}\end{array}\right.$，得4y²-12$\sqrt{3}$y-9=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y₁+y₂=3$\sqrt{3}$，y₁y₂=-$\frac{9}{4}$．
∴S_△OAB=S_△OAF+S_△OFB=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{4}$|y₁-y₂|=$\frac{3}{8}$$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{3}{8}$×$\sqrt{{（3\sqrt{3}）}^{2}+9}$=$\frac{9}{4}$．
故選：D．

點評 本題考查直線與拋物線的位置關系，考查數學轉化思想方法，涉及直線和圓錐曲線關系問題，常采用聯立直線和圓錐曲線，然后利用一元二次方程的根與系數關系解題，是中檔題．