Question

（Ⅰ）求值：tan45°+tan15°+

3

tan45°•tan15°
（Ⅱ）某同學(xué)在學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下兩個式子：
①tan13°+tan47°+

3

tan13°•tan47°；②tan（-20°）+tan80°+

3

tan（-20°）•tan80°的值與（Ⅰ）中計(jì)算的結(jié)果相同，請你根據(jù)這三個式子的結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正切函數(shù),歸納推理

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）易求tan45°=1，tan15°=2-

3

，代入所求關(guān)系式，即可得到答案為

3

；
（Ⅱ）若α+β=60°，則tanα+tanβ+

3

tanαtanβ=

3

，利用兩角和的正切公式tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

，可得tanα+tanβ=tan（α+β）（1-tanαtanβ），將α+β=60°，代入計(jì)算即可證得結(jié)論成立．

解答： 解：（ I）tan45°=1，tan15°=tan（45°-30°）=

tan45°-tan30°

1+tan45°tan30°

=

1- 3 3

1+1× 3 3

=2-

3

，
所以原式=1+2-

3

+

3

（2-

3

）=

3

-------------------------------------------------（5分）
（注：用第二問中的證明方法去計(jì)算也給分）
（ II）若α+β=60°，則tanα+tanβ+

3

tanαtanβ=

3

，------------------（6分）
證明：因?yàn)閠an（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

，所以tanα+tanβ=tan（α+β）（1-tanαtanβ），
左邊=tan（α+β）（1-tanαtanβ）+

3

tanαtanβ
=tan60°（1-tanαtanβ）+

3

tanαtanβ
=

3

（1-tanαtanβ）+

3

tanαtanβ
=

3

，---------------------------（10分）

點(diǎn)評：本題考查兩角和與差的正切函數(shù)，著重考查推理運(yùn)算及證明能力，屬于中檔題．