Question

如圖：PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，點E，F(xiàn)分別是BC，PB的中點．
（Ⅰ）證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）當AD等于何值時，二面角P-DE-A的大小為30°．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定

專題：空間角

分析：（Ⅰ）由已知條件知EF是△PBC的中位線，由此能證明EF∥平面PAC．
（Ⅱ）以A為原點，AD為x軸，AB為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出當AD等于2

3

時，二面角P-DE-A的大小為30°．

解答： （Ⅰ）證明：點E，F(xiàn)分別是BC，PB的中點，
∴EF是△PBC的中位線，
∴EF∥PC，
∵EF?平面PAC，PC?平面PAC，
∴EF∥平面PAC．
（Ⅱ）解：PA⊥平面ABCD，
ABCD是矩形，PA=AB=1，
點E，F(xiàn)分別是BC，PB的中點，
以A為原點，AD為x軸，AB為y軸，AP為z軸，
建立空間直角坐標系，
設(shè)AD=a，則A（0，0，0），
P（0，0，1），D（a，0，0），
E（

a

2

，1，0），∴

PD

=(a，0，-1)，

DE

=(-

a

2

，1，0)，
設(shè)平面PDE的法向量為

n

=(x，y，z)，
則

n • PD =ax-z=0 n • DE =- a 2 x+y=0

，取x=1，得

n

=(1，

a

2

，a)，
又平面ADE的法向量

m

=(0，0，1)，
∵二面角P-DE-A的大小為30°，
∴cos30°=|cos＜

n

，

m

＞|=|

1

1+ a2 4 +a2

|=

3

2

，
解得a=2

3

或a=-2

3

（舍）．
∴當AD等于2

3

時，二面角P-DE-A的大小為30°．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的大小為30°時，線段長的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．