已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+2與直線4x-y+5=0切于點P(-1,1)
(1)求實數(shù)a,b的值;
(2)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間;
(3)若x>0時,不等式f(x)≥mx2-2x+2恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
考點:利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(1)由已知得到f′(-1)=4,f(-1)=1,聯(lián)立方程組求解a,b的值;
(2)由(1)得到f(x)的解析式,求出其導(dǎo)函數(shù),由導(dǎo)函數(shù)大于0求得增區(qū)間,由導(dǎo)函數(shù)小于0求得減區(qū)間;
(3)把f(x)的解析式代入f(x)≥mx2-2x+2,分離參數(shù)m后要么利用基本不等式求最值,要么構(gòu)造輔助函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求最值,則實數(shù)m的取值范圍可求.
解答: 解:(1)由函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+2與直線4x-y+5=0切于點P(-1,1),
f(-1)=3-2a+b=4
f(-1)=-1+a-b+2=1
,解得a=b=-1;
(2)由(1)得,f(x)=x3-x2-x+2,
則f′(x)=3x2-2x-1,
由f′(x)>0,得x<-
1
3
或x>1.
由f′(x)<0,得-
1
3
<x<1.
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,-
1
3
)
,(1,+∞);
單調(diào)減區(qū)間為(-
1
3
,1)

(3)由(1)知:f(x)=x3-x2-x+2,
∵f(x)≥mx2-2x+2,
∴mx2≤x3-x2+x.
∵x>0,
∴m≤
x3-x2+x
x2
,即m≤x+
1
x
-1,
法一、令g(x)=x+
1
x
-1(x>0),
∴g(x)≥2
x•
1
x
-1=2-1=1,
當(dāng)且僅當(dāng)x=
1
x
時取等號,即x=1時,g(x)min=1,
∴m≤1.
法二、令g(x)=x+
1
x
-1(x>0),
∴g'(x)=1-x-2=0,解得x=1,
當(dāng)x∈(0,1)時,g'(x)<0,g(x)為減函數(shù),
當(dāng)x∈(1,+∞)時,g'(x)>0,g(x)為增函數(shù),
當(dāng)x=1時,g(x)min=1,∴m≤1.
點評:本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點處的切線方程,考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,訓(xùn)練了利用不等式恒成立求解參數(shù)的取值范圍,是壓軸題.
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                           藥物效果與動物試驗列聯(lián)表
  患病 未患病 總計
服用藥 10 45 55
沒服用藥 20 30 50
總計 30 75 105
能否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為藥物有效?
參考公式:K2=
n(ad-bc)2
(a-b)(c+d(a+c)(b+d)

                                     臨界值表.
P(K2≥k0 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

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(1)1+(1+2)+(1+2+22)+…+(1+2+22+…+2n-1)=
 

(2)1×2+2×3+…(n-1)×n=
 

(3)
1
2
+
3
22
+…+
2n-1
2n
=
 

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