Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+2與直線4x-y+5=0切于點P（-1，1）
（1）求實數(shù)a，b的值；
（2）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間；
（3）若x＞0時，不等式f（x）≥mx²-2x+2恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由已知得到f′（-1）=4，f（-1）=1，聯(lián)立方程組求解a，b的值；
（2）由（1）得到f（x）的解析式，求出其導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)大于0求得增區(qū)間，由導(dǎo)函數(shù)小于0求得減區(qū)間；
（3）把f（x）的解析式代入f（x）≥mx²-2x+2，分離參數(shù)m后要么利用基本不等式求最值，要么構(gòu)造輔助函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最值，則實數(shù)m的取值范圍可求．

解答： 解：（1）由函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+2與直線4x-y+5=0切于點P（-1，1），
得

f′(-1)=3-2a+b=4 f(-1)=-1+a-b+2=1

，解得a=b=-1；
（2）由（1）得，f（x）=x³-x²-x+2，
則f′（x）=3x²-2x-1，
由f′（x）＞0，得x＜-

1

3

或x＞1．
由f′（x）＜0，得-

1

3

＜x＜1．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為(-∞，-

1

3

)，（1，+∞）；
單調(diào)減區(qū)間為(-

1

3

，1)．
（3）由（1）知：f（x）=x³-x²-x+2，
∵f（x）≥mx²-2x+2，
∴mx²≤x³-x²+x．
∵x＞0，
∴m≤

x3-x2+x

x2

，即m≤x+

1

x

-1，
法一、令g（x）=x+

1

x

-1（x＞0），
∴g（x）≥2

x• 1 x

-1=2-1=1，
當且僅當x=

1

x

時取等號，即x=1時，g（x）_min=1，
∴m≤1．
法二、令g（x）=x+

1

x

-1（x＞0），
∴g'（x）=1-x^-2=0，解得x=1，
當x∈（0，1）時，g'（x）＜0，g（x）為減函數(shù)，
當x∈（1，+∞）時，g'（x）＞0，g（x）為增函數(shù)，
當x=1時，g（x）_min=1，∴m≤1．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，訓(xùn)練了利用不等式恒成立求解參數(shù)的取值范圍，是壓軸題．