Question

已知函數(shù)
（1）求證：函數(shù)f（x）在點(diǎn)（e，f（e））處的切線橫過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若f（x）＜f₂（x）在區(qū)間（1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍；
（3）當(dāng)時(shí)，求證：在區(qū)間（1，+∞）上，滿足f₁（x）＜g（x）＜f₂（x）恒成立的函數(shù)g（x）有無(wú)窮多個(gè)．

Answer 1

解：（1）因?yàn)?IMG style="WIDTH: 113px; HEIGHT: 34px; VERTICAL-ALIGN: middle" src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20120903/201209032258214242232.png">，所以f（x）在點(diǎn)（e，f（e））處的切線的斜率為，所以f（x）在點(diǎn)（e，f（e））處的切線方程為，
整理得，所以切線恒過(guò)定點(diǎn)．
（2）令＜0，對(duì)x∈（1，+∞）恒成立，
因?yàn)?IMG style="WIDTH: 546px; HEIGHT: 40px; VERTICAL-ALIGN: middle" src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20120903/201209032258216146392.png">（*）
令p'（x）=0，得極值點(diǎn)x₁=1，，
①當(dāng)時(shí)，有x₂＞x₁=1，即時(shí)，在（x₂，+∞）上有p'（x）＞0，
此時(shí)p（x）在區(qū)間（x₂，+∞）上是增函數(shù)，
并且在該區(qū)間上有p（x）∈（p（x₂），+∞），不合題意；
②當(dāng)a≥1時(shí)，有x₂＜x₁=1，
同理可知，p（x）在區(qū)間（1，+∞）上，有p（x）∈（p（1），+∞），也不合題意；
③當(dāng)時(shí)，有2a﹣1≤0，
此時(shí)在區(qū)間（1，+∞）上恒有p'（x）＜0，從而p（x）在區(qū)間（1，+?）上是減函數(shù)；
要使p（x）＜0在此區(qū)間上恒成立，只須滿足，
所以．
綜上可知a的范圍是．
（3）當(dāng)時(shí)，
記．
因?yàn)?IMG style="WIDTH: 174px; HEIGHT: 40px; VERTICAL-ALIGN: middle" src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20120903/201209032258220093352.png">，所以y=f₂（x）﹣f₁（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，
所以，
設(shè)，
則f₁（x）＜R（x）＜f₂（x），
所以在區(qū)間（1，+∞）上，滿足f₁（x）＜g（x）＜f₂（x）恒成立的函數(shù)g（x）有無(wú)窮多個(gè)．