【題目】已知橢圓Γ: + =1(a>b>0)的右焦點與短軸兩端點構成一個面積為2的等腰直角三角形,O為坐標原點:
(1)求橢圓Г的方程:
(2)設點A在橢圓Г上,點B在直線y=2上,且OA⊥OB,求證: + 為定值:
(3)設點C在Γ上運動,OC⊥OD,且點O到直線CD距離為常數d(0<d<2),求動點D的軌跡方程:
【答案】
(1)解:∵橢圓Γ: + =1(a>b>0)的右焦點與短軸兩端點構成一個面積為2的等腰直角三角形,O為坐標原點,
∴b=c= ,∴ =2,
∴橢圓Г的方程為 =1.
(2)證明:設A(x0,y0),則OB的方程x0x+y0y=0,
由y=2,得B(﹣ ,2),
∴ + = + = = = ,
∴ + 為定值 .
(3)解:設C(x0,y0),D(x,y),由OC⊥OD,得x0x+y0y=0,①
又C點在橢圓上,得: ,②
聯(lián)立①②,得: , ,③
由OC⊥OD,得OCOD=CDd,
∴OC2OD2=(OC2+OD2)d2,
∴ = +
= +
= ,
化簡,得D點軌跡方程為:( )x2+( )y2=1.
【解析】(1)由橢圓的右焦點與短軸兩端點構成一個面積為2的等腰直角三角形,求出a,b,由此能求出橢圓Г的方程.(2)設A(x0 , y0),則OB的方程x0x+y0y=0,由y=2,得B(﹣ ,2),由此能證明 + 為定值 .(3)設C(x0 , y0),D(x,y),由OC⊥OD,得x0x+y0y=0,又C點在橢圓上,得: ,從而 , ,由此能求出D點軌跡方程.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某學校為了解高三年級學生寒假期間的學習情況,抽取甲、乙兩班,調查這兩個班的學生在寒假期間每天平均學習的時間(單位:小時),統(tǒng)計結果繪成頻率分布直方圖(如圖).已知甲、乙兩班學生人數相同,甲班學生每天平均學習時間在區(qū)間[2,4]的有8人.
(1)求直方圖中a的值及甲班學生每天平均學習時間在區(qū)間(10,12]的人數;
(2)從甲、乙兩個班每天平均學習時間大于10個小時的學生中任取4人參加測試,設4人中甲班學生的人數為ξ,求ξ的分布列和數學期望.
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】設函數f(x)在R上可導,其導函數為f′(x),且函數y=(1﹣x)f′(x)的圖象如圖所示,則下列結論中一定成立的是( )
A.函數f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)
B.函數f(x)有極大值f(﹣2)和極小值f(1)
C.函數f(x)有極大值f(2)和極小值f(﹣2)
D.函數f(x)有極大值f(﹣2)和極小值f(2)
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知函數f(x)的導函數f'(x)滿足2f(x)+xf′(x)>x2(x∈R),則對x∈R都有( )
A.x2f(x)≥0
B.x2f(x)≤0
C.x2[f(x)﹣1]≥0
D.x2[f(x)﹣1]≤0
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某廠為了解甲、乙兩條生產線生產的產品的質量,從兩條生產線生產的產品中隨機抽取各10件,測量產品中某種元素的含量(單位:毫克).如圖是測量數據的莖葉圖:
規(guī)定:當產品中的此種元素含量滿足≥18毫克時,該產品為優(yōu)等品.
(1)根據樣本數據,計算甲、乙兩條生產線產品質量的均值與方差,并說明哪條生產線的產品的質量相對穩(wěn)定;
(2)從乙廠抽出的上述10件產品中,隨機抽取3件,求抽到的3件產品中優(yōu)等品數ξ的分布列及其數學期望E(ξ).
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】“數列{an}成等比數列”是“數列{lgan+1}成等差數列”的( )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知函數f(x)=x﹣ 存在單調遞減區(qū)間,且y=f(x)的圖象在x=0處的切線l與曲線y=ex相切,符合情況的切線l( )
A.有3條
B.有2條
C.有1條
D.不存在
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知函數f(x)=lnx﹣ ax2+x,a∈R.
(1)若f(1)=0,求函數f(x)的最大值;
(2)令g(x)=f(x)﹣(ax﹣1),求函數g(x)的單調區(qū)間;
(3)若a=﹣2,正實數x1 , x2滿足f(x1)+f(x2)+x1x2=0,證明x1+x2≥ .
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網違法和不良信息舉報平臺 | 網上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com