Question

已知函數(shù)f（x）=（x²+ax+3）e^x（x∈R）在x=2處的切線的斜率為2e²．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式并求單調(diào)區(qū)間；
（2）設g（x）=

f′(x)

ex

，其中x∈[-2，m），問：對于任意的m＞-2，方程g（x）=

2

3

(m-1)2在區(qū)間（-2，m）上是否存在實數(shù)根？若存在，請確定實數(shù)根的個數(shù)．若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)在某點取得極值的條件

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求導函數(shù)，利用函數(shù)f（x）=（x²+ax+3）e^x（x∈R）在x=2處的切線的斜率為2e²，求出a的值，利用導數(shù)的正負，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）假設方程g（x）=

2

3

（m-1）²在區(qū)間（-2，m）上存在實數(shù)根．設x₀是方程g（x）=

2

3

（m-1）²的實根，x02-x0=

2

3

（m-1）²，令h（x）=x²-x-

2

3

（m-1）²，從而問題轉(zhuǎn)化為證明方程h（x）=x²-x-

2

3

（m-1）²=0在（-2，m）上有實根，并討論解的個數(shù)．

解答： 解：（1）由已知得f'（x）=[x²+（a+2）x+（a+3）]e^x…（1分）
所以f'（2）=2e²=（11+3a）e²
故a=-3，即f（x）=（x²-3x+3）e^x．  …（3分）
由f′（x）=（x²-x）e^x＞0得x＜0或x＞1；
由f′（x）＜0，可得0＜x＜1．
故f（x）單調(diào)增區(qū)間是（-∞，0），（1，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（0，1）…（5分）．
（2）假設方程g（x）=

2

3

（m-1）²在區(qū)間（-2，m）上存在實數(shù)根
設x₀是方程g（x）=

2

3

（m-1）²的實根，x02-x0=

2

3

（m-1）²，
令h（x）=x²-x-

2

3

（m-1）²，從而問題轉(zhuǎn)化為證明方程h（x）=x²-x-

2

3

（m-1）²=0在（-2，m）上有實根，并討論解的個數(shù)…（7分）
因為h（-2）=6-

2

3

（m-1）²=-

2

3

（m+2）（m-4），h（m）=m（m-1）-

2

3

（m-1）²=

1

3

（m+2）（m-1），
所以
①當m＞4或-2＜m＜1時，h（-2）h（m）＜0，所以h（x）=0在（-2，m）上有解，且只有一解
②當1＜m＜4時，h（-2）＞0且h（m）＞0，但由于h（0）=-

2

3

（m-1）²＜0，
所以h（x）=0在（-2，m）上有解，且有兩解 …（10分）
③當m=1時，h（x）=x²-x=0，所以x=0或x=1，所以h（x）=0在（-2，m）上有且只有一解；
當m=4時，h（x）=x²-x-6=0，所以x=-2或x=3，
所以h（x）=0在（-2，4）上也有且只有一解…（12分）
綜上所述，對于任意的m＞-2，方程g（x）=

2

3

（m-1）²在區(qū)間（-2，m）上均有實數(shù)根
且當m≥4或-2＜m≤1時，有唯一的實數(shù)解；當1＜m＜4時，有兩個實數(shù)解…（14分）

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查導數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學思想，考查學生分析轉(zhuǎn)化問題的能力，正確分類是關鍵．