Question

設(shè)F₁、F₂分別為雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足

PF1

•

PF2

=0，若直線l：3x-4y-10=0與點(diǎn)P的軌跡有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（　�。�

• A、a²+b²=2
• B、a²-b²=2
• C、a²+b²=4
• D、a²-b²=4

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：動(dòng)點(diǎn)P滿足

PF1

•

PF2

=0，可知：點(diǎn)P的軌跡是以線段F₁F₂為直徑的圓，其軌跡方程為x²+y²=c²．由于直線l：3x-4y-10=0與點(diǎn)P的軌跡有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，因此直線l與圓相切，利用切線的性質(zhì)和雙曲線的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：∵動(dòng)點(diǎn)P滿足

PF1

•

PF2

=0，∴

PF1

⊥

PF2

．
∴點(diǎn)P的軌跡是以線段F₁F₂為直徑的圓，其軌跡方程為x²+y²=c²．
由于直線l：3x-4y-10=0與點(diǎn)P的軌跡有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，
因此直線l與圓相切：∴

10

32+(-4)2

=c，化為c=2．
∴a²+b²=4．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了雙曲線的性質(zhì)、直線與圓相切的性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、圓的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．