Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點為F，A為短軸的一個端點，且|OA|=|OF|，△AOF的面積為1（其中O為坐標(biāo)原點）．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若C、D分別是橢圓長軸的左、右端點，動點M滿足MD⊥CD，連結(jié)CM，交橢圓于點P，證明：

OM

•

OP

為定值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，試問x軸上是否存在異于點C的定點Q，使得以MP為直徑的圓恒過直線DP、MQ的交點，若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：向量與圓錐曲線

分析：（Ⅰ）由題意可知b=c，再由△AOF的面積為1求得b，c的值結(jié)合a²=b²+c²求得a²，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求C，D的坐標(biāo)，設(shè)出CM所在直線方程，由MD⊥CD得到M的坐標(biāo)（用CM的斜率和常數(shù)表示），聯(lián)立CM的方程和橢圓方程后借助于根與系數(shù)關(guān)系求得P的坐標(biāo)，
代入數(shù)量積公式可證

OM

•

OP

為定值；
（Ⅲ）假設(shè)存在，設(shè)出Q點坐標(biāo)，由

QM

•

DP

=0列式求得Q點的坐標(biāo)．

解答： （Ⅰ）解：由已知：

b=c 1 2 bc=1

，
∴b=c=

2

，a²=b²+c²=4，
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

2

=1；
（Ⅱ）證明：由（1）知，C（-2，0），D（2，0）．
由題意可設(shè)CM：y=k（x+2），P（x₁，y₁）．
∵M(jìn)D⊥CD，
∴M（2，4k）．
由

x2 4 + y2 2 =1 y=k(x+2)

，消去y整理得：（1+2k²）x²+8k²x+8k²-4=0，
∴△=（8k²）²-4（1+2k²）（8k²-4）＞0，
-2x1=

8k2-4

1+2k2

，即x1=

2-4k2

1+2k2

．
∴y1=k(x1+2)=

4k

1+2k2

，
∴點P（

2-4k2

1+2k2

，

4k

1+2k2

）．
∴

OM

•

OP

=2•

2-4k2

1+2k2

+4k•

4k

1+2k2

=

4(1+2k2)

1+2k2

=4（定值）．
（Ⅲ）解：設(shè)Q（x₀，0），且x₀≠2．
若以MP為直徑的圓恒過DP，MQ的交點，
則MQ⊥DP，
∴

QM

•

DP

=0恒成立．
由（2）可知：

QM

=(2-x0，4k)，

DP

=(

-8k2

1+2k2

，

4k

1+2k2

)，
∴

QM

•

DP

=(2-x0)•

-8k2

1+2k2

+4k•

4k

1+2k2

=0，
即

8k2

1+2k2

x0=0恒成立，
∴x₀=0．
∴存在Q（0，0），使得以MP為直徑的圓恒過直線DP、MQ的交點．

點評：本題考查橢圓方程的求法，主要考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了向量法解決與圓錐曲線有關(guān)的問題，直線與曲線聯(lián)立，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系解題，是處理這類問題的最為常用的方法，但圓錐曲線的特點是計算量比較大，要求考試具備較強(qiáng)的運(yùn)算推理的能力，是高考試卷中的壓軸題．