Question

已知點A（2，1）在拋物線E：x²=ay上，直線l₁：y=kx+1（k∈R，且k≠0）與拋物線E相交于B，C兩點，直線AB，AC分別交直線l₂：y=-1于點S，T．
（1）求a的值；
（2）若|ST|=2

5

，求直線l₁的方程；
（3）試判斷以線段ST為直徑的圓是否恒過兩個定點？若是，求這兩個定點的坐標；若不是，說明理由．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）根據點A（2，1）在拋物線E：x²=ay上，可求a的值；
（2）y=kx+1代入拋物線方程，利用韋達定理，確定S，T的坐標，根據|ST|=2

5

，即可求直線l₁的方程；
（3）確定以線段ST為直徑的圓的方程，展開令x=0，即可求這兩個定點的坐標．

解答： 解：（1）∵點A（2，1）在拋物線E：x²=ay上，∴a=4．…（1分）
（2）由（1）得拋物線E的方程為x²=4y．
設點B，C的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），依題意，

x

2 1

=4y1，

x

2 2

=4y2，
y=kx+1代入拋物線方程，消去y得x²-4kx-4=0，
解得x1，2=

4k±4 k2+1

2

=2k±2

k2+1

．
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4．…（2分）
直線AB的斜率kAB=

y1-1

x1-2

=

x 2 1 4 -1

x1-2

=

x1+2

4

，
故直線AB的方程為y-1=

x1+2

4

(x-2)．…（3分）
令y=-1，得x=2-

8

x1+2

，∴點S的坐標為(2-

8

x1+2

，-1)．…（4分）
同理可得點T的坐標為(2-

8

x2+2

，-1)．…（5分）
∴|ST|=|2-

8

x1+2

-(2-

8

x2+2

)|=|

8(x1-x2)

(x1+2)(x2+2)

|=|

8(x1-x2)

x1x2+2(x1+x2)+4

|=|

8(x1-x2)

8k

|=|

x1-x2

k

|．…（6分）
∵|ST|=2

5

，∴|x1-x2|=2

5

|k|．
由|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2，得20k²=16k²+16，
解得k=2，或k=-2，…（7分）
∴直線l₁的方程為y=2x+1，或y=-2x+1．…（9分）
（3）設線段ST的中點坐標為（x₀，-1），
則x0=

1

2

(2-

8

x1+2

+2-

8

x2+2

)=2-

4(x1+x2+4)

(x1+2)(x2+2)

=2-

4(4k+4)

x1x2+2(x1+x2)+4

=2-

4(4k+4)

8k

=-

2

k

．…（10分）
而|ST|²=

(x1-x2)2

k2

=

(x1+x2)2-4x1x2

k2

=

16(k2+1)

k2

，…（11分）
∴以線段ST為直徑的圓的方程為(x+

2

k

)2+(y+1)2=

1

4

|ST|2=

4(k2+1)

k2

．
展開得x2+

4

k

x+(y+1)2=

4(k2+1)

k2

-

4

k2

=4．…（12分）
令x=0，得（y+1）²=4，解得y=1或y=-3．…（13分）
∴以線段ST為直徑的圓恒過兩個定點（0，1），（0，-3）．…（14分）

點評：本題考查拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查圓的方程，考查學生的計算能力，屬于中檔題．