Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sinωx+cosωx+c（ω＞0，x∈R，c是實(shí)數(shù)常數(shù)）的圖象上的一個最高點(diǎn)（

π

6

，1），與該最高點(diǎn)最近的一個最低點(diǎn)是（

2π

3

，-3）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式及其單調(diào)增區(qū)間；
（2）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且

AB

•

BC

=-

1

2

ac，角A的取值范圍是區(qū)間M，當(dāng)x∈M時，試求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用三角恒等變換可求得f（x）=2sin（ωx+

π

6

）+c，依題意，解方程組

T 2 = 2π 3 - π 6 ω= 2π T 2sin( π 6 •ω+ π 6 )+c=1

即可求ω與c的值，從而可得函數(shù)f（x）的解析式及其單調(diào)增區(qū)間；
（2）利用向量的數(shù)量積易求B=

π

3

，M=（0，

2π

3

），利用正弦函數(shù)的單調(diào)性與最值即可求得函數(shù)f（x）的值域．

解答： 解：（1）∵f（x）=

3

sinωx+cosωx+c，
∴f（x）=2sin（ωx+

π

6

）+c．
∵（

π

6

，1）和（

2π

3

，-3）分別是函數(shù)圖象上相鄰的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，
∴

T 2 = 2π 3 - π 6 ω= 2π T 2sin( π 6 •ω+ π 6 )+c=1

，解得

T=π c=-1 ω=2

，
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）-1．
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，解得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．
（2）∵在△ABC中，

AB

•

BC

=-

1

2

ac，
∴accos（π-B）=-

1

2

ac，又0＜B＜π，
∴B=

π

3

，
∴A+C=

2π

3

，C＞0，于是0＜A＜

2π

3

，即M=（0，

2π

3

），
當(dāng)x∈M時，

π

6

＜2x+

π

6

＜

3π

2

，
∴-1＜sin（2x+

π

6

）≤1，
∴-3＜f（x）≤1，即函數(shù)f（x）的值域為（-3，1]．

點(diǎn)評：本題考查三角恒等變換及其應(yīng)用，著重考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查方程思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．