Question

11．若三棱錐的三視圖如圖，則其表面積為30+6$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 根據三視圖，可得該三棱錐為如圖的三棱錐A-BCD，其中底面△BCD中，CD⊥BC，且側面ABC與底面ABC互相垂直，分別求出S_△ADB，S_△ADC，S_△CBD，S_△ACB，問題得以解決．

解答 解：根據題意，還原出如圖的三棱錐A-BCD
底面Rt△BCD中，BC⊥CD，且BC=5，CD=4
側面△ABC中，高AE⊥BC于E，且AE=4，BE=2，CE=3
側面△ACD中，AC=$\sqrt{A{E}^{2}+C{E}^{2}}$=5
∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，AE⊥BC
∴AE⊥平面BCD，結合CD?平面BCD，得AE⊥CD
∵BC⊥CD，AE∩BC=E
∴CD⊥平面ABC，結合AC?平面ABC，得CD⊥AC
因此，△ADB中，AB=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，BD=$\sqrt{{5}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{41}$，AD=$\sqrt{{5}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{41}$，
設△ADB中AB邊上的高為h，則h=$\sqrt{41-5}$=6，
由三角形面積公式，得S_△ADB=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{5}$×6=6$\sqrt{5}$
又∵S_△ACB=×5×4=10，S_△ADC=S_△CBD=×4×5=10
∴三棱錐的表面積是S_表=S_△ADB+S_△ADC+S_△CBD+S_△ACB=$30+6\sqrt{5}$

點評 本題給出三棱錐的三視圖，求該三棱錐的表面積，著重考查了三視圖的理解、線面垂直與面面垂直的判定與性質，屬于中檔題．