Question

8．若向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$滿(mǎn)足$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$=2$\overrightarrow$，則稱(chēng)向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$依次成“等差”向量；若向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$滿(mǎn)足$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{^{2}}$，則稱(chēng)$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$依次成“等比”向量．已知直線(xiàn)l上不同三點(diǎn)A，B，C，O為直線(xiàn)l外一點(diǎn)，有以下說(shuō)法：
①若$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OC}$依次成“等差”向量，則點(diǎn)B是線(xiàn)段AC的中點(diǎn)；
②若點(diǎn)B是線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，則$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OC}$依次成“等差”向量；
③若點(diǎn)B是線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，則$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OC}$可能依次成“等比”向量；
④若|$\overrightarrow{OA}$|=5，|$\overrightarrow{OC}$|=8，|$\overrightarrow{AC}$|=7，則$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OC}$不可能依次成“等比”向量．
其中說(shuō)法正確的序號(hào)是①②④（把正確說(shuō)法的序號(hào)都填上）

Answer 1

分析 根據(jù)“等差”向量的定義得出$\overrightarrow{OB}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$），即B是線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，判斷①正確；
根據(jù)B是線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，結(jié)合“等差”向量定義，即可判斷②正確；
根據(jù)點(diǎn)B是線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，結(jié)合平面向量的運(yùn)算法則與“等比”向量的定義，判斷③錯(cuò)誤；
根據(jù)余弦定理求出∠AOC的大小，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離以及“等比”向量的概念，判斷④正確．

解答 解：對(duì)于①，若$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OC}$依次成“等差”向量，則$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$=2$\overrightarrow{OB}$，
∴$\overrightarrow{OB}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$），即點(diǎn)B是線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，①正確；
對(duì)于②，若點(diǎn)B是線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，則$\overrightarrow{OB}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$），
∴$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$=2$\overrightarrow{OB}$，即$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OC}$依次成“等差”向量，②正確；
對(duì)于③，若點(diǎn)B是線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，則$\overrightarrow{OB}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$），
∵＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OC}$＞∈（0，π），∴cos＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OC}$＞＜1，
∴${\overrightarrow{OB}}^{2}$=$\frac{1}{4}$（${\overrightarrow{OA}}^{2}$+2$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$+${\overrightarrow{OC}}^{2}$）≥$\frac{1}{4}$（2|$\overrightarrow{OA}$|×|$\overrightarrow{OC}$|+2$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$）
＞$\frac{1}{4}$（|$\overrightarrow{OA}$|×|$\overrightarrow{OC}$|cos＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OC}$＞+2$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$）=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$，
∴$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OC}$不可能依次成“等比”向量，③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，∵|$\overrightarrow{OA}$|=5，|$\overrightarrow{OC}$|=8，|$\overrightarrow{AC}$|=7，
∴cos∠AOC=$\frac{{5}^{2}{+8}^{2}{-7}^{2}}{2×5×8}$=$\frac{1}{2}$，∴∠AOC=60°；
又點(diǎn)O到直線(xiàn)AC的距離d=$\frac{5×8sin60°}{7}$=$\frac{20\sqrt{3}}{7}$，
且點(diǎn)B在直線(xiàn)AC上，∴|$\overrightarrow{OB}$|≥$\frac{20\sqrt{3}}{7}$；
若$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$、$\overrightarrow{OC}$依次成“等比”向量，則${\overrightarrow{OB}}^{2}$=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$=5×8×$\frac{1}{2}$=20，
又|$\overrightarrow{OB}$|=2$\sqrt{5}$＜$\frac{20\sqrt{3}}{7}$，
∴$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OC}$不可能依次成“等比”向量，④正確．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了新定義的平面向量的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了直線(xiàn)方程與等差等比數(shù)列的應(yīng)用問(wèn)題，考查了余弦定理的應(yīng)用問(wèn)題，考查了分析問(wèn)題與解答問(wèn)題的能力，是綜合性題目．