Question

20．若曲線C₁：y=ax²（a＞0）與曲線C₂：y=e^x存在公切線，則a的取值范圍為[$\frac{{e}^{2}}{4}$，+∞）．

Answer 1

分析 求出兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)出兩切點(diǎn)，由斜率相等列方程，再由方程有根轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象有交點(diǎn)，求得a的范圍．

解答 解：由y=ax²（a＞0），得y′=2ax，
由y=e^x，得y′=e^x，
曲線C₁：y=ax²（a＞0）與曲線C₂：y=e^x存在公共切線，
設(shè)公切線與曲線C₁切于點(diǎn)（x₁，ax₁²），與曲線C₂切于點(diǎn)（x₂，e^x₂），
則2ax₁=e^x₂=$\frac{{{e}^{x}}_{2}-a{{x}_{1}}^{2}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，
可得2x₂=x₁+2，
∴a=$\frac{{e}^{\frac{{x}_{1}}{2}+1}}{2{x}_{1}}$，
記f（x）=$\frac{{e}^{\frac{x}{2}+1}}{2x}$，
則f′（x）=$\frac{{e}^{\frac{x}{2}+1}（x-2）}{4{x}^{2}}$，
當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減；
當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增．
∴當(dāng)x=2時(shí)，f（x）_min=$\frac{{e}^{2}}{4}$．
∴a的范圍是[$\frac{{e}^{2}}{4}$，+∞）．
故答案為：[$\frac{{e}^{2}}{4}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了方程有實(shí)數(shù)解的條件，是中檔題．