Question

已知數(shù)列{a_n}，a_n≠2，a_n+1=

5an-8

2an-3

，a₁=3．
（1）證明：數(shù)列{

1

an-2

}是等差數(shù)列；
（2）設(shè)b_n=a_n-2，數(shù)列{b_nb_n+1}的前n項(xiàng)和為S_n，求證S_n＜

1

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得

1

an+1-2

=

2an-3

an-2

=2+

1

an-2

，從而

1

an+1-2

-

1

an-2

=2，由此能證明數(shù)列{

1

an-2

}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．
（2）由

1

an-2

=1+（n-1）×2=2n-1，得b_n=a_n-2=

1

2n-1

，從而b_nb_n+1=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），由此利用裂項(xiàng)求和法能證明S_n＜

1

2

．

解答： （1）證明：a_n≠2，a_n+1=

5an-8

2an-3

，a₁=3，
∴a_n+1-2=

5an-8

2an-3

-2=

an-2

2an-3

，
∴

1

an+1-2

=

2an-3

an-2

=2+

1

an-2

，
∴

1

an+1-2

-

1

an-2

=2，
又a₁=3，∴

1

a1-2

=1，
∴數(shù)列{

1

an-2

}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．
（2）證明：∵數(shù)列{

1

an-2

}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，
∴

1

an-2

=1+（n-1）×2=2n-1，
∴a_n-2=

1

2n-1

，∴b_n=a_n-2=

1

2n-1

，
∴b_nb_n+1=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴S_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

1

2

（1-

1

2n+1

）＜

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的證明，考查不等式的證明，是中檔題，解題時(shí)要注意構(gòu)造法和裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．