Question

已知函數(shù)f（x）=x²+3x|x-a|，其中a∈R．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，把函數(shù)f（x）寫成分段函數(shù)的形式，并畫出函數(shù)f（x）的圖象；
（2）指出a=2時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)區(qū)間，并求函數(shù)在[1，3]最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）a=2時(shí)，去掉f（x）的絕對值，化為分段函數(shù)，畫出f（x）的圖象即可．
（2）根據(jù)函數(shù)的圖象，判定f（x）的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)f（x）的單調(diào)性，計(jì)算f（x）在[1，3]上的極值和端點(diǎn)處的函數(shù)值，從而得最值．

解答： 解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=x²+3x|x-2|=

4x2-6x，x≥2 -2x2+6x，x＜2

，
畫出f（x）的圖象，如右圖所示：
（2）根據(jù)函數(shù)的圖象知，當(dāng)a=2時(shí)，f（x）的增區(qū)間為(-∞，

3

2

]，[2，+∞），
減區(qū)間為(

3

2

，2)；
∵f（x）在[1，

3

2

）上是增函數(shù)，在（

3

2

，2）上是減函數(shù)，在（2，3]上是增函數(shù)，
且f（1）=4，f（

3

2

）=

9

2

，f（2）=4，f（3）=18，
∴f（x）的最大值為18，最小值為4．

點(diǎn)評：本題考查了含有絕對值的函數(shù)的圖象與性質(zhì)的問題，解題時(shí)通常去掉絕對值，化為分段函數(shù)，從而解答問題．