Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦距為2，置橢圓短軸的兩個三等分點與一個焦點構(gòu)成正三角形．
（l）求橢圓的方程；
（2）若以k（k≠0）為斜率的直線l與橢圓E相交于兩個不同的點A，B，且線段AB的垂直平分線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為

1

16

，求k的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用橢圓短軸的兩個三等分點與一個焦點構(gòu)成正三角形，結(jié)合焦距為2，求出橢圓的幾何量，即可求橢圓的方程；
（2）設(shè)出直線l的方程，代入橢圓的方程，利用判別式及根與系數(shù)的關(guān)系求出MN的中點坐標(biāo)，從而得到線段MN的垂直平分線方程，通過求出直平分線與坐標(biāo)軸的交點，計算圍成的三角形面積，由判別式大于0，求得k的取值范圍．

解答： 解：（1）設(shè)短軸的兩個三等分點分別為M，N，F(xiàn)為焦點，則△MNF為正三角形，
∴|OF|=

3

2

|MN|，
∵橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦距為2，
∴1=

3

2

•

2b

3

，解得b=

3

，
∴a=

b2+c2

=2，
∴橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+m（k≠0）．點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
直線y=kx+m代入橢圓方程，消去y，整理得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
此方程有兩個不等實根，于是3+4k²≠0，且△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0．
整理得-m²+3+4k²＞0． ①
由根與系數(shù)的關(guān)系可知線段MN的中點坐標(biāo)（x₀，y₀）滿足x₀=

-4km

4k2+3

，y₀=kx₀+m=

3m

4k2+3

．
從而線段MN的垂直平分線方程為y-

3m

4k2+3

=-

1

k

（x-

-4km

4k2+3

）．
此直線與x軸，y軸的交點坐標(biāo)分別為（

-km

4k2+3

，0），（0，

-m

4k2+3

）．
由題設(shè)可得

1

2

|

-km

4k2+3

||

-m

4k2+3

|=

1

16

．
整理得m²=

(4k2+3)3

8|k|

，k≠0．
將上式代入①式整理得（4k²-5）（4k²-8|k|+3）＞0，k≠0．
解得

1

2

＜|k|＜

3

2

．
∴k的取值范圍是（-

3

2

，-

1

2

）∪（

1

2

，

3

2

）．

點評：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程、兩條直線垂直等基礎(chǔ)知識，考查曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法，考查推理運算能力，屬于中檔題．