已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），F(xiàn)1、F2是其左右焦點(diǎn)，其離心率是
6
3
，P是橢圓上一點(diǎn)，△PF1F2的周長是2（
3
+
2
）．
（1）求橢圓的方程；
（2）試對(duì)m討論直線y=2x+m（m∈R）與該橢圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）利用離心率是
6
3
，P是橢圓上一點(diǎn)，△PF1F2的周長是2（
3
+
2
），建立方程組，求出幾何量，即可求橢圓的方程；
（2）直線y=2x+m代入橢圓的方程，整理得：13x2+12mx+3m2-3=0，利用判別式，即可求得直線與該橢圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
解答： 解：（1）設(shè)橢圓的焦距是2c，據(jù)題意則有
c
a
=
6
3
2a+2c=2(
3
+
2
)
，
∴a=
3
，c=
2
，
∴b=1，
故橢圓的方程是
x2
3
+y2=1．…5分
（2）聯(lián)立的方程組
y=2x+m
x2
3
+y2=1
，整理得：13x2+12mx+3m2-3=0
其判別式△=144m2-52（3m2-3）=156-12m2．…8分
當(dāng)△＜0即m＜-
13
或m＞
13
時(shí)，直線與橢圓無公共點(diǎn)；
當(dāng)△=0即m=±
13
時(shí)，直線與橢圓恰有一個(gè)公共點(diǎn)；
當(dāng)△＞0即-
13
＜m＜
13
時(shí)，直線與橢圓恰有兩個(gè)不同公共點(diǎn)．…11分．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定橢圓的方程是關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知集合A={x|4-x2＞0}，B={x|
x-1
x
＞0}，則A∩B等于（　　）
A、（-∞，0）∪（2，+∞）
B、（2，+∞）
C、（1，2）
D、（-2，0）∪（1，2）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)y=sin2x+acosx-
a
2
-
5
2
的最大值為1時(shí)，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知2f（x）+f（
1
1-x
）=2x，求f（x）的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知向量
a
，
b
，計(jì)算6
a
-[4
a
-
b
-5（2
a
-3
b
）]+（
a
+7
b
）；
（2）已知向量|
a
|=6，|
b
|=4，向量
a
與
b
的夾角是60°，求（
a
+2
b
）•（
a
-3
b
）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+3x|x-a|，其中a∈R．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，把函數(shù)f（x）寫成分段函數(shù)的形式，并畫出函數(shù)f（x）的圖象；
（2）指出a=2時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)區(qū)間，并求函數(shù)在[1，3]最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

用0，1，2，3，4，5組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)．
（1）共可組成多少個(gè)四位數(shù)？
（2）將這些四位數(shù)從小到大排列，第112個(gè)數(shù)是多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓O：x2+y2=4，若焦點(diǎn)在x軸上的橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1 過點(diǎn)p（0，1），且其長軸長等于圓O的直徑．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點(diǎn)P作兩條互相垂直的直線l1與l2，l1與圓O交于A、B兩點(diǎn)，l2交橢圓于另一點(diǎn)C．
（Ⅰ）設(shè)直線l1的斜率為k，求弦AB長；
（Ⅱ）求△ABC面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

計(jì)算
-2+i
1+2i
的值是
 
．

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