【題目】若函數(shù)（，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）存在唯一的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．

【答案】

【解析】

函數(shù)存在唯一的零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)的圖像只有一個(gè)交點(diǎn)．∵，，∴函數(shù)與函數(shù)的圖像的唯一交點(diǎn)為．對(duì)求導(dǎo)，可得的單調(diào)性及斜率范圍，又是最小正周期為2．最大值為的正弦型函數(shù)，畫出草圖，比較與在x=1處斜率即可.

函數(shù)（，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）存在唯一的零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)的圖像只有一個(gè)交點(diǎn)．

∵，，

∴函數(shù)與函數(shù)的圖像的唯一交點(diǎn)為．

又∵，且，，

∴在上恒小于零，即在上為單調(diào)遞減函數(shù)．

又∵，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，且是最小正周期為2．最大值為的正弦型函數(shù)，

∴可得函數(shù)與函數(shù)的大致圖像如圖所示．

∴要使函數(shù)與函數(shù)的圖像只有唯一一個(gè)交點(diǎn)，則．

∵，，

∴，解得．

對(duì)∵，∴實(shí)數(shù)的取值范圍為．

故答案為：.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓的右焦點(diǎn)、右頂點(diǎn)分別為F，A，過原點(diǎn)的直線與橢圓C交于點(diǎn)P、Q（點(diǎn)P在第一象限內(nèi)），連結(jié)PA，QF．若，的面積是面積的3倍．

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知M為線段PA的中點(diǎn)，連結(jié)QA，QM．

①求證：Q，F，M三點(diǎn)共線；

②記直線QP，QM，QA的斜率分別為，，，若，求的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在直角梯形中，，，，，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，將，分別沿，

向上折起，使，重合于點(diǎn)，得到三棱錐．試在三棱錐中，

（1）證明：平面平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知數(shù)列是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，數(shù)列是公比不為1的等比數(shù)列，且滿足，，

（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；

（2）令，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：對(duì)任意的，都有；

（3）若數(shù)列滿足，，記，是否存在整數(shù)，使得對(duì)任意的 都有成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】科研人員在對(duì)人體脂肪含量和年齡之間關(guān)系的研究中，獲得了一些年齡和脂肪含量的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本數(shù)據(jù)，如下表：

（年齡/歲）

26

27

39

41

49

53

56

58

60

61

（脂肪含量/%）

14.5

17.8

21.2

25.9

26.3

29.6

31.4

33.5

35.2

34.6

根據(jù)上表的數(shù)據(jù)得到如下的散點(diǎn)圖.

（1）根據(jù)上表中的樣本數(shù)據(jù)及其散點(diǎn)圖：

（i）求；

（i）計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01），并刻畫它們的相關(guān)程度.

（2）若關(guān)于的線性回歸方程為，求的值（精確到0.01），并根據(jù)回歸方程估計(jì)年齡為50歲時(shí)人體的脂肪含量.

附：參考數(shù)據(jù)：，，，，，，

參考公式：相關(guān)系數(shù)

回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，傾斜角為的直線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求與的極坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)與的交點(diǎn)為、，與的交點(diǎn)為、，且，求值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為加快新能源汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展，推進(jìn)節(jié)能減排，某年國(guó)家對(duì)消費(fèi)者購(gòu)買新能源汽車給予補(bǔ)貼，其中對(duì)純電動(dòng)乘用車補(bǔ)貼標(biāo)準(zhǔn)如下表：

新能源汽車補(bǔ)貼標(biāo)準(zhǔn)

車輛類型

續(xù)駛里程

純電動(dòng)乘用車

3.5萬(wàn)元/輛

5萬(wàn)元/輛

6萬(wàn)元/輛

某校研究學(xué)習(xí)小組從汽車市場(chǎng)上隨機(jī)選取了輛純電動(dòng)乘用車，根據(jù)其續(xù)駛里程（單次充電后能行駛的最大里程）作出了如下的頻率與頻數(shù)的統(tǒng)計(jì)表：

分組

頻數(shù)

頻率

2

0.2

5

合計(jì)

1

（1）若從這輛純電動(dòng)乘用車中任選2輛，求選到的2輛車?yán)m(xù)駛里程都不低于150km的概率．

（2）若以頻率作為概率，設(shè)為購(gòu)買一輛純電動(dòng)乘用車獲得的補(bǔ)貼，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】日晷是中國(guó)古代用來(lái)測(cè)定時(shí)間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來(lái)測(cè)定時(shí)間．把地球看成一個(gè)球(球心記為O)，地球上一點(diǎn)A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點(diǎn)A處的水平面是指過點(diǎn)A且與OA垂直的平面.在點(diǎn)A處放置一個(gè)日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點(diǎn)A處的緯度為北緯40°，則晷針與點(diǎn)A處的水平面所成角為（ ）

A.20°B.40°

C.50°D.90°

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某市環(huán)保部門對(duì)市中心每天的環(huán)境污染情況進(jìn)行調(diào)查研究后，發(fā)現(xiàn)一天中環(huán)境綜合污染指數(shù)與時(shí)刻（時(shí)）的關(guān)系為，，其中是與氣象有關(guān)的參數(shù)，且．若用每天的最大值為當(dāng)天的綜合污染指數(shù)，并記作．

（1）令，，求的取值范圍；

（2）求的表達(dá)式，并規(guī)定當(dāng)時(shí)為綜合污染指數(shù)不超標(biāo)，求當(dāng)在什么范圍內(nèi)時(shí)，該市市中心的綜合污染指數(shù)不超標(biāo)．

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