Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓的右焦點(diǎn)、右頂點(diǎn)分別為F，A，過原點(diǎn)的直線與橢圓C交于點(diǎn)P、Q（點(diǎn)P在第一象限內(nèi)），連結(jié)PA，QF．若，的面積是面積的3倍．

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知M為線段PA的中點(diǎn)，連結(jié)QA，QM．

①求證：Q，F，M三點(diǎn)共線；

②記直線QP，QM，QA的斜率分別為，，，若，求的面積．

Answer 1

【答案】（1）（2）①見解析②4

【解析】

(1)根據(jù)可得,又的面積是面積的3倍,所以,再聯(lián)立求解基本量即可.

(2) 設(shè),再表示出,關(guān)于的表達(dá)式,化簡證明即可.

(3)由 可得,代入橢圓可得,進(jìn)而求出

（1）設(shè)橢圓C的焦距為2c.

因?yàn)?/span>,所以.

設(shè),則的面積為.

過原點(diǎn)的直線與橢圓C交于點(diǎn)P,Q,

所以,

故的面積為.

因?yàn)?/span>的面積是面積的3倍,

所以,

解得,,,

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）①因?yàn)?/span>,所以.

因?yàn)?/span>,

所以,,

故Q,F,M三點(diǎn)共線.

②因?yàn)?/span>,,,且,

所以

化簡得,

解得或（舍去）,

代入中,得

因?yàn)辄c(diǎn)P在第一象限內(nèi),所以,故.

因?yàn)?/span>M為線段PA的中點(diǎn),所以.

因?yàn)?/span>O為線段PQ的中點(diǎn),

所以,

故.