Question

在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=

π

2

，AB=AD=PD=1，CD=2．設(shè)Q為側(cè)棱PC上一點，

PQ

=λ

PC

，試確定λ的值，使得二面角Q-BD-P為45°．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角

專題：空間角

分析：以D為原點，DA、DC、DP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能確定λ的值，使得二面角Q-BD-P為45°．

解答： 解：∵側(cè)面PCD⊥底面ABCD，平面PCD∩ABCD=CD，PD⊥CD，
∴PD⊥平面ABCD，
∴PD⊥AD，即DA、DC、DP兩兩垂直，
如圖，以D為原點，DA、DC、DP分別為x，y，z軸，
建立空間直角坐標系，
∵AB=AD=PD=1，CD=2，
∴D（0，0，0），B（1，1，0），P（0，0，1），C（0，2，0），
∴

DB

=(1，1，0)，

DP

=(0，0，1)，

PC

=(0，2，-1)，
設(shè)平面PBD的一個法向量為

n

=(x，y，z)，
則

n • DB =x+y=0 n • DP =z=0

，取x=-1，得

n

=(-1，1，0)，
設(shè)

PQ

=λ

PC

=（0，2λ，-λ），λ∈（0，1），
則Q（0，2λ，1-λ），

DQ

=(0，2λ，1-λ)，
設(shè)平面QBD的一全法向量

m

=(a，b，c)，
則

m • DB =a+b=0 m • DQ =2λb+(1-λ)c=0

，
取x=-1，得

m

=（-1，1，

2λ

λ-1

），
∵二面角Q-BD-P為45°，
∴cos45°=

| m • n |

| m |•| n |

=

2

2 • 2+( 2λ λ-1 )2

=

2

2

，
由λ∈（0，1），解得λ=

2

-1．

點評：本題考查使得二面角為45°的點的位置的確定，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．