Question

【題目】在四棱柱中，底面，底面為菱形，為與交點(diǎn)，已知，．

（I）求證：平面．

（II）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面，如果存在，求的值，如果不存在，請(qǐng)說明理由．

（III）設(shè)點(diǎn)在內(nèi)（含邊界），且，求所有滿足條件的點(diǎn)構(gòu)成的圖形，并求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（3）構(gòu)成的圖形是線段，包括端點(diǎn)，

【解析】試題分析：（1）由線面垂直得，由菱形性質(zhì)得，再根據(jù)線面垂直判定定理得平面，（2）連接交于點(diǎn)，當(dāng)是中點(diǎn)，由平幾知識(shí)可得是平行四邊形，即得，再由線面平行判定定理得結(jié)論（3）由線面垂直性質(zhì)與判定定理可得，即得點(diǎn)構(gòu)成的圖形是線段，再利用三角形面積求O到直線距離，即得的最小值．

試題解析：（I）證明：∵底面，

∴底面，

又平面，

∴，

∵為菱形，

∴，

而，

∴平面．

（II）存在點(diǎn)，當(dāng)是中點(diǎn)，即時(shí)，平面．

證明：連接，交于點(diǎn)，連接，則是中點(diǎn)，

∵，且，分別是，的中點(diǎn)，

∴是平行四邊形，

∴，

又平面，平面，

∴平面，

∴當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，平面，

此時(shí)，．

（III）在內(nèi)，滿足的點(diǎn)構(gòu)成的圖形是線段，包括端點(diǎn)，

連接，則，

∵，

∴要使，只需，從而需，

又在中，，

又為中點(diǎn)，

∴，

故點(diǎn)一定在線段上，

當(dāng)時(shí)，取最小值．

在直角三角形中，，，，

所以