Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

3-cos2x

2

-4t•sin

x

2

cos

x

2

+2t²-6t（x∈R），其中t∈R，將f（x）的最小值記為g（t）．
（1）求g（t）的表達式；
（2）當(dāng)-1≤t≤1時，要使關(guān)于t的方程g（t）=kt有且僅有一個實根，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的最值,根的存在性及根的個數(shù)判斷,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）利用二倍角公式化簡函數(shù)的解析式為f（x）=（sinx-t）²+t²-6t+1．再分當(dāng)t＜-1時、當(dāng)-1≤t≤1時、當(dāng)t＞1時三種情況，分別求得g（t）的解析式，可得結(jié)論．
（2）由題意可得函數(shù)g（t）的圖象在區(qū)間[-1，1]上和直線y=kt只有一個交點，如圖，求得OA的斜率，OC的斜率，可得k的范圍．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=

3-cos2x

2

-4t•sin

x

2

cos

x

2

+2t²-6t
=sin²x-2tsinx+2t²-6t+1
=（sinx-t）²+t²-6t+1．
當(dāng)t＜-1時，g（t）=（-1-t）²+t²-6t+1=2t²-4t+2．
當(dāng)-1≤t≤1時，g（t）=t²-6t+1．
當(dāng)t＞1時，g（t）=（1-t）²+t²-6t+1=2t²-8t+2．
綜上可得，g（t）=

2t2-4t+2，t＜-1 t2-6t+1，-1≤t≤1 2t2-8t+2，t＞1

．
（2）當(dāng)-1≤t≤1時，要使關(guān)于t的方程g（t）=kt有
且僅有一個實根，
則函數(shù)g（t）的圖象（紅線部分）在區(qū)間[-1，1]上和直線y=kt（藍線）只有一個交點，
如圖所示：
再根據(jù)OA的斜率為

-4-0

1-0

=-4，OC的斜率為

8-0

-1-0

=-8，可得k≥-4，或 k≤-8．

點評：本題主要考查二倍角公式、二次函數(shù)的性質(zhì)，方程根的存在性及個數(shù)判斷，屬于基礎(chǔ)題．