Question

已知拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F的直線L交拋物線于A，B兩點(diǎn)，過A，B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)兩切線的交點(diǎn)為M，求點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由拋物線方程求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，由斜截式寫出過焦點(diǎn)的直線方程，和拋物線方程聯(lián)立求出A，B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的積，再利用導(dǎo)數(shù)寫出過A，B兩點(diǎn)的切線方程，然后整體運(yùn)算可求得兩切線的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值-

p

2

，從而得到兩切線交點(diǎn)的軌跡方程．

解答： 解：由拋物線x²=2py得其焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（0，

p

2

）．
設(shè)A（x₁，

x12

2p

），B（x₂，

x22

2p

），
直線l：y=kx+

p

2

，代入拋物線方程，得：x²-2kpx-p²=0．
∴x₁x₂=-p²…①．
又拋物線方程求導(dǎo)得y′=

x

p

，
∴拋物線過點(diǎn)A的切線的斜率為

x1

p

，切線方程為y-

x12

2p

=

x1

p

（x-x₁）…②
拋物線過點(diǎn)B的切線的斜率為

x2

p

，切線方程為y-

x22

2p

=

x2

p

（x-x₂）…③
由①②③得：y=-

p

2

．
∴l(xiāng)₁與l₂的交點(diǎn)P的軌跡方程是y=-

p

2

．

點(diǎn)評：本題考查了軌跡方程，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了整體運(yùn)算思想方法，是中檔題．