Question

設(shè)函數(shù)f（x）=2ax-

a

x

+lnx
（1）當(dāng)a=-

1

3

時，若在[

1

4

，2]存在x₀，使得不等式f（x₀）-c≤0成立，求c的最小值．
（2）若f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．（參考數(shù)據(jù)e²≈7.389，e³≈20.08）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再分別討論x的取值范圍，從而求出c的最小值，
（2）分別討論a＞0，a＜0，a=0的情況，從而得出a的范圍．

解答： 解：（1）在[

1

4

，2]?x₀，使不等式f（x₀ ）-c≤0成立，
只需c≥[f（x）]_min，
由f′（x）=-

(2x-1)(x-1)

3x2

，
∴x∈[

1

4

，

1

2

]時，f′（x）＜0，
∴f（x）在[

1

4

，

1

2

]上遞減；
當(dāng)x∈[

1

2

，1]時，f′（x）＞0，
∴f（x）在[

1

2

，1]上遞增；
當(dāng)x∈[1，2]時，f′（x）＜0，∴f（x）在[1，2]上遞減；
∴f（

1

2

）是f（x）在[

1

4

，2]上的極小值．
而f（

1

2

）=

1

3

-ln2，f（2）=-

7

6

+ln2，
∴f（

1

2

）-f（2）=

ln

3 2 e

-ln4，
又e³-16＞0，∴

ln

3 2 e

-ln4＞0，
∴[f（x）]_min=f（2），
∴c≥[f（x）]_min=-

7

6

+ln2，
∴c的范圍是[-

7

6

+ln2，+∞），
∴c的最小值為-

7

6

+ln2；
（2）①a=0時，f（x）=lnx，
則f（x）在（0，+∞）遞增；
②當(dāng)a＞0時，
∵x＞0，∴2ax²+x+a＞0，
∴f′x）＞0，則f（x）在（0，+∞）遞增，
③a＜0時，設(shè)g（x）=2ax²+x+a，只需△≤0，
從而得a≤-

2

4

，此時f（x）在（0，+∞，）遞減；
綜上得，a的范圍是（-∞，-

2

4

]∪[0，+∞）．

點(diǎn)評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，求參數(shù)的范圍，考察分類討論思想，是一道綜合題．