Question

已知函數(shù)f（x）=x-a，g（x）=a-

1

x

（a∈R）．
（Ⅰ）判斷函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）在x∈[1，4]的單調(diào)性并用定義證明；
（Ⅱ）令F（x）=|f（x）|+g（x），求F（x）在區(qū)間x∈[1，4]的最大值的表達式M（a）．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（Ⅰ）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可．
（2）根據(jù)定義的M（a）為f（x）的最大值，寫出不同區(qū)間上的表示式，根據(jù)不同區(qū)間上的表示式，寫出分段函數(shù)．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=x-a，g（x）=a-

1

x

，
∴h（x）=f（x）-g（x）=x+

1

x

，
設x₁，x₂∈[1，4]，且x₁＜x₂，
則f（x₂）-f（x₁）=(x2+

1

x2

)-(x1+

1

x1

)=

(x2-x1)(x1x2-1)

x1x2

，
∵x₁，x₂∈[1，4]，且x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，x₁x₂-1＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
∴h（x）=f（x）-g（x）在x∈[1，4]的單調(diào)遞增，
（Ⅱ）∵F（x）=|f（x）|+g（x）=|x-a|+a-

1

x

，
當a≤0時，
F（x）=x-

1

x

，在x∈[1，4]的單調(diào)遞增，M（a）=

15

4

，
當a≥4時，
F（x）=2a-（x+

1

x

），在x∈[1，4]的單調(diào)遞減，M（a）=2a-2，
當0＜a＜4時
①a≤x≤4時，F(xiàn)（x）=x-

1

x

，在x∈[1，4]的單調(diào)遞增，M（a）=

15

4

，
②1≤x＜a時，F(xiàn)（x）=2a-（x+

1

x

），在x∈[1，4]的單調(diào)遞減，M（a）=2a-2，
綜上所述，M（a）=

15 4 ，a≤x≤4 2a-2，1≤x＜a

．

點評：本題考查利用定義判斷函數(shù)的單調(diào)性，本題解題的關鍵是看清題干中所給的條件，寫出正確的單調(diào)區(qū)間．