Question

【題目】如圖，拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，過點(diǎn)作直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，且滿足.

（1）求直線和拋物線的方程；

（2）當(dāng)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）直線的方程為，拋物線方程為（2）

【解析】

(1)設(shè)直線的方程為,拋物線方程為,再聯(lián)立方程利用韋達(dá)定理表達(dá),繼而求得直線的斜率與方程.

(2)根據(jù)當(dāng)拋物線過點(diǎn)的切線與平行時(shí),面積最大,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解.或者設(shè)點(diǎn),再表達(dá)出面積根據(jù)參數(shù)的范圍分析面積表達(dá)式再求最值即可.

（1）據(jù)題意可設(shè)直線的方程為,

拋物線方程為

由,

得,.

設(shè)點(diǎn),

則,.

所以

因?yàn)?/span>,

所以,解得

故直線的方程為,拋物線方程為.

（2）解法一：據(jù)題意,當(dāng)拋物線過點(diǎn)的切線與平行時(shí),面積最大

設(shè)點(diǎn),因?yàn)?/span>,

由,所以.

此時(shí),點(diǎn)到直線的距離.

由,得,.

所以

.

故面積的最大值為.

解法二：由,得,.

所以

.

設(shè)點(diǎn),點(diǎn)到直線的距離為,

則,

當(dāng)時(shí),,此時(shí)點(diǎn).

故面積的最大值為.