Question

【題目】AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是圓O上異于AB的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)動(dòng)點(diǎn)C的直線VC垂直于圓O所在平面，D，E分別是VA，VC的中點(diǎn).

（1）判斷直線DE與平面VBC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2）當(dāng)△VAB為邊長(zhǎng)為的正三角形時(shí)，求四面體V﹣DEB的體積.

Answer 1

【答案】（1）⊥平面，理由見(jiàn)解析（2）

【解析】

（1）由已知可得AC⊥BC，AC⊥VC，可證AC⊥平面VBC，D，E分別是VA，VC的中點(diǎn)，有DE∥AC，即可證明結(jié)論；

（2）由已知可證△VBC≌△VAC，得到BC=AC，進(jìn)而求出BC，AC，VC值，利用等體積法有，即可求解.

（1）DE⊥平面VBC，證明如下:

∵AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是圓O上異于AB的動(dòng)點(diǎn)，

∴AC⊥BC，∵過(guò)動(dòng)點(diǎn)C的直線VC垂直于圓O所在平面，

AC平面ABC，∴AC⊥VC，∵BC∩VC=C，

∴AC⊥平面VBC，∵D，E分別是VA，VC的中點(diǎn)，

∴DE∥AC，∴DE⊥平面VBC.

（2）∵△VAB為邊長(zhǎng)為的正三角形，

AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是圓O上異于AB的動(dòng)點(diǎn)，

過(guò)動(dòng)點(diǎn)C的直線VC垂直于圓O所在平面，

D，E分別是VA，VC的中點(diǎn)，∴△VBC≌△VAC，∴BC=AC，∴BC2+AC2=AB2=8.∴AC=BC=2，

D，E分別是VA，VC的中點(diǎn)，∴DE==1，

∴四面體V﹣DEB的體積為:

=.