Question

18．若直線ax-by+2=0（a＞0，b＞0）平分圓x²+y²+2x-2y-1=0的面積，則$\frac{1}{a}+\frac{3}$的最小值為2+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)已知條件得到a+b=2，將其化為$\frac{a+b}{2}$=1，代入$\frac{1}{a}$+$\frac{3}$結(jié)合基本不等式的性質(zhì)計(jì)算即可．

解答 解：∵直線ax-by+2=0（a＞0，b＞0）平分圓x²+y²+2x-2y-1=0的面積，
∴圓x²+y²+2x-2y-1=0的圓心（-1，1）在直線上，可得-a-b+2=0，
即a+b=2，
因此（$\frac{1}{a}+\frac{3}$）（$\frac{a}{2}$+$\frac{2}$）=$\frac{1}{2}$+$\frac{2a}$+$\frac{3a}{2b}$+$\frac{3}{2}$≥2+2$\sqrt{\frac{2a}•\frac{3a}{2b}}$=2+$\sqrt{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)：$\frac{2a}$=$\frac{3a}{2b}$時(shí)“=”成立，
故答案為：2+$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的方程，考查基本不等式的性質(zhì)，是一道基礎(chǔ)題．