Question

已知函數(shù)f（x）=x²的圖象在點(diǎn)A（x₁，f（x₁））與點(diǎn)B（x₂，f（x₂））處的切線互相垂直，并交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)可能是（　�。�

• A、（-

  3

  2

  ，3）
• B、（0，-4）
• C、（2，3）
• D、（1，-

  1

  4

  ）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由已知函數(shù)解析式求得A，B的坐標(biāo)，求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在A，B兩點(diǎn)出的導(dǎo)數(shù)值，由圖象在點(diǎn)A（x₁，f（x₁））與點(diǎn)B（x₂，f（x₂））處的切線互相垂直得到x1x2=-

1

4

，由點(diǎn)斜式寫出過A，B兩點(diǎn)的切線方程，通過整體運(yùn)算求得y=x1x2=-

1

4

，即P點(diǎn)縱坐標(biāo)為-

1

4

，然后逐一核對四個(gè)選項(xiàng)可得答案．

解答： 解：由題意可知，A(x1，x12)，B(x2，x22) （x₁≠x₂），
由f（x）=x²，得f′（x）=2x，
則過A，B兩點(diǎn)的切線斜率k₁=2x₁，k₂=2x₂，
又切線互相垂直，
∴k₁k₂=-1，即x1x2=-

1

4

．
兩條切線方程分別為l1：y=2x1x-x12，l2：y=2x2x-x22，
聯(lián)立得（x₁-x₂）[2x-（x₁+x₂）]=0，
∴2x-（x₁+x₂）=0，x=

x1+x2

2

．
代入l₁得，y=x1x2=-

1

4

，
結(jié)合已知選項(xiàng)可知，P點(diǎn)坐標(biāo)可能是D．
故選：D．

點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程，曲線上過某點(diǎn)的切線的斜率，就是該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，考查了整體運(yùn)算思想方法，是中檔題．