Question

數(shù)列{a_n}定義如下：a₁=1，a₂=2，a_n+2=

2(n+1)

n+2

a_n+1-

n

n+2

a_n，n=1，2，…．若a_m＞2+

2011

2012

，則正整數(shù)m的最小值為

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列的函數(shù)特性

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由a_n+2=

2(n+1)

n+2

a_n+1-

n

n+2

a_n，變形為（n+2）a_n+2-（n+1）a_n=（n+1）a_n+1-na_n．可知數(shù)列{na_n}是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項公式可得na_n，進而得到a_n．即可解出．

解答： 解：由a_n+2=

2(n+1)

n+2

a_n+1-

n

n+2

a_n，變形為（n+2）a_n+2-（n+1）a_n=（n+1）a_n+1-na_n．
可知數(shù)列{na_n}是等差數(shù)列，公差d=2a₂-a₁=2×2-1=3，首項a₁=1．
∴na_n=1+（n-1）×3=3n-2，∴an=3-

2

n

．
若a_m＞2+

2011

2012

，則3-

2

m

＞2+

2011

2012

，解得m＞4024．
∴若a_m＞2+

2011

2012

，則正整數(shù)m的最小值為4025．
故答案為：4025．

點評：本題考查了等差數(shù)列的定義及其通項公式、不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．