Question

10．某工廠打算建造如圖所示的圓柱形容器（不計(jì)厚度，長度單位：米），按照設(shè)計(jì)要求，該容器的底面半徑為r，高為h，體積為16π立方米，且h≥2r．已知圓柱的側(cè)面部分每平方米建造費(fèi)用為3千元，圓柱的上、下底面部分每平方米建造費(fèi)用為a千元，假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān)，該容器的建造總費(fèi)用為y千元．
（1）求y關(guān)于r的函數(shù)表達(dá)式，并求出函數(shù)的定義域；
（2）問r為多少時(shí)，該容器建造總費(fèi)用最小？

Answer 1

分析 （1）設(shè)容器的容積為V，利用體積公式化簡(jiǎn)求解即可．
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)$y'=4πar-\frac{96π}{r^2}（{0＜r≤2}）$，求出極值點(diǎn)利用函數(shù)的單調(diào)性求解最值即可．

解答 解：（1）設(shè)容器的容積為V，
由題意知V=πr²h=16π，故$h=\frac{16}{r^2}$，…..（2分）
因?yàn)閔≥2r，所以0＜r≤2，…．（4分）
故建造費(fèi)用$y=2πrh×3+2π{r^2}a=6πr×\frac{16}{r^2}+2π{r^2}a$，
即$y=2πa{r^2}+\frac{96π}{r}，0＜r≤2$．…．（6分）
（2）由（1）得$y'=4πar-\frac{96π}{r^2}（{0＜r≤2}）$，
令y'=0得$r=2\root{3}{{\frac{3}{a}}}$，…..（8分）
①當(dāng)$0＜2\root{3}{{\frac{3}{a}}}＜2$即a＞3時(shí)，
若$r∈（{0，2\root{3}{{\frac{3}{a}}}}）$，則y'＜0，函數(shù)單調(diào)遞減；
若$r∈（{2\root{3}{{\frac{3}{a}}}，2}）$，則y'＞0，函數(shù)單調(diào)遞增；
所以$r=2\root{3}{{\frac{3}{a}}}$時(shí)，函數(shù)取得極小值，也是最小值．…（12分）
②當(dāng)$2\root{3}{{\frac{3}{a}}}≥2$即0＜a≤3時(shí)，
因?yàn)閞∈（0，2]，則y'＜0，函數(shù)單調(diào)遞減；
則r=2時(shí)，函數(shù)取得最小值．…（14分）
綜上所述：若a＞3，當(dāng)$r=2\root{3}{{\frac{3}{a}}}$時(shí)，建造總費(fèi)用最少；
若0＜a≤3，當(dāng)r=2時(shí)，建造總費(fèi)用最少．…..（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)際問題的應(yīng)用，函數(shù)的解析式的求法，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的最值的求法，考查計(jì)算能力．