Question

1．如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2．
（I）求異面直線AC與B₁D所成角的余弦值；
（Ⅱ）設(shè)M是線段B₁D上一點，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁內(nèi)隨機選取一點，若該點取自于三棱錐M-ACD內(nèi)的概率為$\frac{1}{18}$，試確定點M的位置．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線AC與B₁D所成角的余弦值．
（Ⅱ）設(shè)M到平面ABCD的距離d，則$\frac{{V}_{M-ADC}}{{V}_{ABCD-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}}}$=$\frac{\frac{1}{3}{S}_{△ADC}•d}{{S}_{四邊形ABCD}•A{A}_{1}}$=$\frac{\frac{1}{6}d}{A{A}_{1}}$=$\frac{1}{18}$，由此能求出結(jié)果．

解答 解：（Ⅰ）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，
建立空間直角坐標系，
A（1，0，0），C（0，2，0），B₁（1，2，1），
D（0，0，0），
$\overrightarrow{AC}$=（-1，2，0），$\overrightarrow{{B}_{1}D}$=（-1，-2，-1），
設(shè)異面直線AC與B₁D所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{{B}_{1}D}|}{|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{{B}_{1}D}|}$=$\frac{|-3|}{\sqrt{5}•\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{30}}{10}$．
∴異面直線AC與B₁D所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{30}}{10}$．
（Ⅱ）${V}_{ABCD-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}}$=S_{四邊形ABCD}•AA₁，
${S}_{△ADC}=\frac{1}{2}$S_{四邊形ABCD}，
設(shè)M到平面ABCD的距離d，
∵M是線段B₁D上一點，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁內(nèi)隨機選取一點，
該點取自于三棱錐M-ACD內(nèi)的概率為$\frac{1}{18}$，
∴$\frac{{V}_{M-ADC}}{{V}_{ABCD-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}}}$=$\frac{\frac{1}{3}{S}_{△ADC}•d}{{S}_{四邊形ABCD}•A{A}_{1}}$=$\frac{\frac{1}{6}d}{A{A}_{1}}$=$\frac{1}{18}$，
解得d=$\frac{A{A}_{1}}{3}$=$\frac{1}{3}$．
設(shè)M（a，b，c），$\overrightarrow{DM}$=$λ\overrightarrow{D{B}_{1}}$，則（a，b，c）=（λ，2λ，λ），
∴a=λ，b=2λ，c=λ，
∵d=$\frac{1}{3}$，∴c=λ=$\frac{1}{3}$，∴M（$\frac{1}{3}，\frac{2}{3}，\frac{1}{3}$）．

點評 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查點的位置的確定，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．