Question

已知函數(shù)f（x）=asinωx+bcosωx（ω＞0）的部分圖象如圖所示．
（1）求a、b、ω的值；
（2）求函數(shù)g（x）=f（x-

π

12

）-f（x+

π

12

）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由函數(shù)圖象求出周期，代入周期公式求得ω的值，然后由f(0)=1，f(

5π

12

)=0聯(lián)立方程組求解a，b的值；
（2）把（1）中求得的f（x）代入g（x）=f（x-

π

12

）-f（x+

π

12

），化簡(jiǎn)后由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)
g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答： 解：（1）由圖象知，周期T=2(

11π

12

-

5π

12

)=π，
∴ω=

2π

T

=2，
∴f（x）=asin2x+bcos2x，
由

f(0)=b=1 f( 5 12 π)=asin 5 6 π+bcos 5 6 π=0

，解得

a= 3 b=1

，
∴a=

3

，b=1，ω=2；
（2）由（1）得f（x）=

3

sin2x+cos2x
=2(

3

2

sin2x+

1

2

cos2x)=2sin(2x+

π

6

)．
∴g（x）=f（x-

π

12

）-f（x+

π

12

）
=2sin[2(x-

π

12

)+

π

6

]-2sin[2(x+

π

12

)+

π

6

]
=2sin2x-2sin(2x+

π

3

)
=2sin(2x-

π

3

)．
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，得kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，k∈z．
∴g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，k∈z．

點(diǎn)評(píng)：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解函數(shù)解析式，訓(xùn)練了正弦型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的求法，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性滿足同增異減的原則，是中檔題．