Question

在不考慮空氣阻力的情況下，火箭的最大速度v（單位：m/s）和燃料的質(zhì)量M（單位：kg），火箭（除燃料外）的質(zhì)量m（單位：kg）滿足e^v=（1+

M

m

）²⁰⁰⁰．（e為自然對數(shù)的底）
（Ⅰ）當(dāng)燃料質(zhì)量M為火箭（除燃料外）質(zhì)量m兩倍時，求火箭的最大速度（單位：m/s）；
（Ⅱ）當(dāng)燃料質(zhì)量M為火箭（除燃料外）質(zhì)量m多少倍時，火箭的最大速度可以達到8km/s．（結(jié)果精確到個位，數(shù)據(jù)：e≈2.718，e⁴≈54.598，ln3≈1.099））

Answer 1

考點：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的互化，表示出最大速度v的解析式，根據(jù)題意M=2m，代入求解即可得到答案；
（Ⅱ）根據(jù)題意，列出

M

m

=e

v

2000

-1，再根據(jù)最大速度為8km/s，代入即可求得

M

m

的值，從而求得答案．

解答： （Ⅰ）∵e^v=（1+

M

m

）²⁰⁰⁰，
∴v=ln（1+

M

m

）²⁰⁰⁰=2000ln（1+

M

m

），
∵當(dāng)燃料質(zhì)量M為火箭（除燃料外）質(zhì)量m兩倍時，即M=2m，
∴v=2000ln3≈2000×1.099=2198（m/s）；
答：當(dāng)燃料質(zhì)量M為火箭質(zhì)量m兩倍時，火箭的最大速度為2198m/s．
（Ⅱ）∵e^v=（1+

M

m

）²⁰⁰⁰，
∴

M

m

=e

v

2000

-1，
∴

M

m

=e

8000

2000

-1=e⁴-1≈54，598-1≈54，
答：當(dāng)燃料質(zhì)量M為火箭質(zhì)量m的54倍時，火箭最大速度可以達到8km/s．

點評：本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，考查了對數(shù)式與指數(shù)式的互化，解決實際問題通常有四個步驟：（1）閱讀理解，認真審題；（2）引進數(shù)學(xué)符號，建立數(shù)學(xué)模型；（3）利用數(shù)學(xué)的方法，得到數(shù)學(xué)結(jié)果；（4）轉(zhuǎn)譯成具體問題作出解答，其中關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型．同時考查了運算能力．屬于中檔題．