Question

已知數(shù)列{x_n}，{y_n}滿(mǎn)足：x₁=x₂=1，y₁=y₂=2，并且

xn+1

xn

=λ•

xn

xn-1

，

yn+1

yn

≥λ•

yn

yn-1

（λ為非零參數(shù)，n=2，3，4…）
（1）若x₁，x₃，x₅成等比數(shù)列，求參數(shù)λ的值；
（2）當(dāng)λ＞0時(shí)，證明：

xn+1

yn+1

≤

xn

yn

(n∈N*)；
（3）當(dāng)λ＞1時(shí)，證明：

x1-y1

x2-y2

+

x2-y2

x3-y3

+…+

xn-yn

xn+1-yn+1

＜

λ

λ-1

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列遞推式

專(zhuān)題：證明題,綜合題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）依題意，

x3

x2

=λ

x2

x1

，把x₁=x₂=1代入可求得x₃=λ，同理可求x₄=λ³，x₅=λ⁶，利用等比中項(xiàng)的性質(zhì)即可求得參數(shù)λ的值；
（2）當(dāng)λ＞0時(shí)，

yn+1

yn

≥λ

yn

yn-1

≥법

yn-1

yn-2

≥…≥λ^n-1•

y2

y1

=λ^n-1，同理可求

xn+1

xn

=λ^n-1，進(jìn)而可使結(jié)論得證；
（3）當(dāng)λ＞1時(shí)，可求得

yn+1-xn+1

xn+1

≥

yn-xn

xn

，整理可得

yn+1-xn+1

yn-xn

≥

xn+1

xn

，代入所證關(guān)系式，即可證得結(jié)論成立．

解答： 解：（1）n=2時(shí)，

x3

x2

=λ

x2

x1

，把x₁=x₂=1代入得x₃=λ，
同理可得x₄=λ³，x₅=λ⁶，
∵x₁，x₃，x₅成等比數(shù)列，
∴x32=x₁•x₅，即λ²=λ⁶，
又λ≠0，
∴λ=±1；
（2）∵λ＞0，x₁=x₂=1，y₁=y₂=2，
∴x_n＞0，y_n＞0，
由不等式的性質(zhì)得，

yn+1

yn

≥λ

yn

yn-1

≥법

yn-1

yn-2

≥…≥λ^n-1•

y2

y1

=λ^n-1，
同理可得

xn+1

xn

=λ^n-1，
∴

yn+1

yn

≥λ^n-1=

xn+1

xn

，
∴

xn+1

yn+1

≤

xn

yn

（n∈N^*）；
（3）當(dāng)λ＞1時(shí)，由（1）知y_n＞x_n≥1（n∈N^*），
由（2）知

xn+1

yn+1

≤

xn

yn

（n∈N^*）；
∴

yn+1-xn+1

xn+1

≥

yn-xn

xn

，
∴

yn+1-xn+1

yn-xn

≥

xn+1

xn

（n∈N^*）；
∴

x1-y1

x2-y2

+

x2-y2

x3-y3

+…+

xn-yn

xn+1-yn+1

≤

1

λ0

+

1

λ

+

1

λ2

+…+

1

λn-1

=

1-( 1 λ )n

1- 1 λ

＜

λ

λ-1

．

點(diǎn)評(píng)：本題以數(shù)列的遞推關(guān)系為載體，結(jié)合等比數(shù)列的等比中項(xiàng)及前n項(xiàng)和的公式，運(yùn)用不等式的性質(zhì)及證明等基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行運(yùn)算和推理論證．