Question

如圖在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=

3

，AA₁=2，E是BB₁的中點，且CE交BC₁于點P，點Q在線段BC上，CQ=2QB．
（1）證明：CC₁∥平面A₁PQ；
（2）若直線BC⊥平面A₁PQ，求二面角A₁-QE-P的大小．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的判定,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：空間角

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出△BEP∽△C₁CP，從而得到PQ∥EB∥C₁C，由此能夠證明CC₁∥平面A₁PQ．
（2）分別以A為原點，AB，AC，AA₁為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A₁-QE-P的大�。�

解答： （1）證明：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵∠BAC=90°，AB=

3

，AA₁=2，E是BB₁的中點，且CE交BC₁于點P，
∴△BEP∽△C₁CP，∴

CP

PE

=

2

1

=

CQ

BQ

，
∴PQ∥EB∥C₁C，
又∵PQ?平面A₁PQ，C₁C不在平面A₁PQ內(nèi)，
∴CC₁∥平面A₁PQ．
（2）解：由（1）知PQ∥C₁C，∵C₁C∥A₁A，∴PQ∥A₁A，
∵BC⊥A₁A，∴BC⊥PQ，
∵直線BC⊥平面A₁PQ，∴BC⊥平面A₁PQA，∴BC⊥AQ，
∵∠BAC=90°，CQ=2QB，∴AC=

6

，
分別以A為原點，AB，AC，AA₁為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
由已知條件得A₁（0，0，2），E（

3

，0，1），B（

3

，0，0），
C（0，

6

，0），Q（

2 3

3

，

6

3

，0），
∴

QE

=(

3

3

，-

6

3

，1)，

A1E

=(

3

，0，-1)，
設(shè)平面A₁QE的法向量為

m

=(x，y，z)，
則

m • QE =0 m • A1E =0

，∴

3 3 x- 6 3 y+z=0 3 x-z=0

，
取x=1，得y=2

2

，z=

3

，∴

m

=(1，2

2

，

3

)，
又BC⊥AQ，且A₁A⊥AQ，
∴AQ⊥平面BCC₁B₁，∴平面BCC₁B₁的法向量為

AQ

=（

2 3

3

，

6

3

，0），
∴二面角A₁-QE-P的余弦值為

AQ • m

| AQ |•| m |

=

2

2

，
∴二面角A₁-QE-P的大小為45°．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的大小的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．