如圖在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=
3
，AA1=2，E是BB1的中點(diǎn)，且CE交BC1于點(diǎn)P，點(diǎn)Q在線段BC上，CQ=2QB．
（1）證明：CC1∥平面A1PQ；
（2）若直線BC⊥平面A1PQ，求二面角A1-QE-P的大�。�
考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的判定,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題
專題：空間角
分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出△BEP∽△C1CP，從而得到PQ∥EB∥C1C，由此能夠證明CC1∥平面A1PQ．
（2）分別以A為原點(diǎn)，AB，AC，AA1為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A1-QE-P的大�。�
解答： （1）證明：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，
∵∠BAC=90°，AB=
3
，AA1=2，E是BB1的中點(diǎn)，且CE交BC1于點(diǎn)P，
∴△BEP∽△C1CP，∴
CP
PE
=
2
1
=
CQ
BQ
，
∴PQ∥EB∥C1C，
又∵PQ?平面A1PQ，C1C不在平面A1PQ內(nèi)，
∴CC1∥平面A1PQ．
（2）解：由（1）知PQ∥C1C，∵C1C∥A1A，∴PQ∥A1A，
∵BC⊥A1A，∴BC⊥PQ，
∵直線BC⊥平面A1PQ，∴BC⊥平面A1PQA，∴BC⊥AQ，
∵∠BAC=90°，CQ=2QB，∴AC=
6
，
分別以A為原點(diǎn)，AB，AC，AA1為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
由已知條件得A1（0，0，2），E（
3
，0，1），B（
3
，0，0），
C（0，
6
，0），Q（
2
3
3
，
6
3
，0），
∴
QE
=(
3
3
，-
6
3
，1)，
A1E
=(
3
，0，-1)，
設(shè)平面A1QE的法向量為
m
=(x，y，z)，
則
m
•
QE
=0
m
•
A1E
=0
，∴
3
3
x-
6
3
y+z=0
3
x-z=0
，
取x=1，得y=2
2
，z=
3
，∴
m
=(1，2
2
，
3
)，
又BC⊥AQ，且A1A⊥AQ，
∴AQ⊥平面BCC1B1，∴平面BCC1B1的法向量為
AQ
=（
2
3
3
，
6
3
，0），
∴二面角A1-QE-P的余弦值為
AQ
•
m
|
AQ
|•|
m
|
=
2
2
，
∴二面角A1-QE-P的大小為45°．
點(diǎn)評：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的大小的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，點(diǎn)P在邊BC上沿B→C運(yùn)動，則△ABP的面積小于4的概率為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若x，y滿足約束條件
x+y≤3
y≤x+1
x+3y≥3
，則函數(shù)z=2x-y的最大值是（　�。�
A、-1B、0C、3D、6

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，AB=2
5
，AC=3，sinC=2sinA．
（Ⅰ）求△ABC的面積S；
（Ⅱ）求cos（2A+
2π
3
）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

直線L：y=kx+1與橢圓C：ax2+y2=2（a＞1）交于A、B兩點(diǎn)，以O(shè)A、OB為鄰邊作平行四邊形OAPB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）若k=1，且四邊形OAPB為矩形，求a的值；
（2）若a=2，當(dāng)k變化時（k∈R），求點(diǎn)P的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)（1，
3
2
），離心率為
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）直線y=k（x-1）（k≠0）與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M是橢圓C的右頂點(diǎn)．直線AM與直線BM分別與y軸交于點(diǎn)P，Q，試問以線段PQ為直徑的圓是否過x軸上的定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F（1，0），離心率e=
2
2
，A，B是橢圓上的動點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若直線OA與OB的斜率乘積kOA•kOB=-
1
2
，動點(diǎn)P滿足
OP
=
OA
+λ
OB
，（其中實(shí)數(shù)λ為常數(shù)）．問是否存在兩個定點(diǎn)F1，F(xiàn)2，使得|PF1|+|PF2|為定值？若存在，求F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)，若不存在，說明理由；
（Ⅲ）若點(diǎn)A在第一象限，且點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)對稱，點(diǎn)A在x軸上的射影為C，連接BC并延長交橢圓于點(diǎn)D．證明：AB⊥AD．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓E：
x2
4
+y2=1的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，圓x2+y2=4上有一動點(diǎn)P，P在x軸上方，C（1，0），直線PA交橢圓E于點(diǎn)D，連結(jié)DC，PB．
（Ⅰ）若∠ADC=90°，求△ADC的面積S；
（Ⅱ）設(shè)直線PB，DC的斜率存在且分別為k1，k2，若k1=2k2，求λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

記集合A={（x，y）|x2+y2≤4}和集合B={（x，y）|x+y-2≤0，x≥0，y≥0}表示的平面區(qū)域分別為Ω1和Ω2，若在區(qū)域Ω1內(nèi)任取一點(diǎn)M（x，y），則點(diǎn)M落在區(qū)域Ω2的概率為
 
．

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同步練習(xí)冊答案