Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點為F（1，0），離心率e=

2

2

，A，B是橢圓上的動點．
（Ⅰ）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若直線OA與OB的斜率乘積k_OA•k_OB=-

1

2

，動點P滿足

OP

=

OA

+λ

OB

，（其中實數(shù)λ為常數(shù)）．問是否存在兩個定點F₁，F(xiàn)₂，使得|PF₁|+|PF₂|為定值？若存在，求F₁，F(xiàn)₂的坐標(biāo)，若不存在，說明理由；
（Ⅲ）若點A在第一象限，且點A，B關(guān)于原點對稱，點A在x軸上的射影為C，連接BC并延長交橢圓于點D．證明：AB⊥AD．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）利用橢圓的離心率計算公式和b²=a²-c²即可得出；
（Ⅱ）利用向量的坐標(biāo)運算、點在橢圓上滿足橢圓的方程、斜率計算公式及其橢圓的定義即可得出；
（Ⅲ）利用對稱的知識、斜率計算公式及其點A，D在橢圓上，只要證明k_AB•k_AD=-1，即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）由題意可知：

c=1 c a = 2 2

，解得a=

2

，
∴b²=a²-c²=1，
∴橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）設(shè)P（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則由

OP

=

OA

+λ

OB

得
（x，y）=（x₁，y₁）+λ（x₂，y₂）=（x₁+λx₂，y₁+λy₂），
即x=x₁+λx₂，y=y₁+λy₂．
∵點A、B在橢圓x²+2y²=2上，
∴x12+2y12=2，x22+2y22=2，
故x²+2y²=（x12+λ²x22+2λx₁x₂）+2（y12+λ²y22+2λy₁y₂）
=（x12+2y12）+λ²（x22+2y22）+2λ（x₁x₂+2y₁y₂）
=2+2λ²+2λ（x₁x₂+2y₁y₂）．
∵k_OA•k_OB=

y1

x1

•

y2

x2

=-

1

2

，
∴x₁x₂+2y₁y₂=0，
∴x²+2y²=2+2λ²．即

x2

2+2λ2

+

y2

1+λ2

=1．
∴P點是橢圓

x2

2+2λ2

+

y2

1+λ2

=1上的點，
設(shè)該橢圓的左、右焦點為F₁，F(xiàn)₂，
由橢圓的定義可知：|PF₁|+|PF₂|為定值．
又∵c=

1+λ2

，
∴此橢圓的兩焦點的坐標(biāo)為F₁（-

1+λ2

，0），F(xiàn)₂（

1+λ2

，0）．
∴存在兩個定點F₁（-

1+λ2

，0），F(xiàn)₂（

1+λ2

，0）．使得|PF₁|+|PF₂|=2

2+2λ2

．
（Ⅲ）證明：設(shè)A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
由題設(shè)可知：x₁＞0，x₂＞0，y₁＞0，y₂＞0，x₁≠x₂，C（x₁，0），B（-x₁，-y₁）．
由題意可知：k_CB=k_BD，∴

y1

2x1

=

y2+y1

x2+x1

③
kAB•kAD+1=

y1

x1

•

y2-y1

x2-x1

+1④
將③代入④可得：kAB•kAD+1=

2(y2+y1)

x2+x1

•

y2-y1

x2-x1

+1=

( x 2 2 +2 y 2 2 )-( x 2 1 +2 y 2 1 )

x 2 2 - x 2 1

⑤
點A，D在橢圓x²+2y²=2上，
∴kAB•kAD+1=

( x 2 2 +2 y 2 2 )-( x 2 1 +2 y 2 1 )

x 2 2 - x 2 1

=

2-2

x 2 2 - x 2 1

=0．
∴k_AB•k_AD=-1，
∴AB⊥AD．

點評：本題綜合考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、點在橢圓上可知滿足橢圓的方程、斜率計算公式、對稱的性質(zhì)、直線垂直與斜率的關(guān)系等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．