已知x=1是函數f(x)=mx3-3(m+1)x2+nx+1的一個極值點,其中m,n∈R,m<0,
(1)求m與n的關系式;
(2)求f(x)的單調區(qū)間;
(3)若m<-4,求證:函數y=f(x)的圖象與x軸只有一個交點.
【答案】
分析:(1)由x=1是函數f(x)=mx
3-3(m+1)x
2+nx+1的一個極值點,求導,則f′(1)=0,求得m與n的關系表達式;
(2)根據(I),代入f(x)中,求導,令導數f′(x)>0,求得單調增區(qū)間,令f′(x)<0,求得單調減區(qū)間.
(3)先由f(1)=m+4,由題意得到函數f(x)的圖象在
上和x軸沒有交點,在
上單調遞減,與x軸有一個交點,從而證得:若m<-4,函數y=f(x)的圖象與x軸只有一個交點.
解答:解:(1)f′(x)=3mx
2-6(m+1)x+n因為x=1是函數f(x)的一個極值點,所以f′(1)=0,即3m-6(m+1)+n=0,所以n=3m+6
(2)由(I)知,f′(x)=3mx
2-6(m+1)x+3m+6=
當m<0時,有
,當x變化時,f(x)與f′(x)的變化如下表:
x | | | | 1 | (1,+∞) |
f′(x) | <0 | | >0 | | <0 |
f(x) | 單調遞減 | 極小值 | 單調遞增 | 極大值 | 單調遞減 |
故有上表知,當m<0時,f(x)在
單調遞減,在
單調遞增,在(1,+∞)上單調遞減.
(3)證明:f(1)=m+4,當x<-4時,f(1)<0,
則函數f(x)的圖象在
上和x軸沒有交點,在
上單調遞減,
與x軸有一個交點,綜上所述,若m<-4,函數y=f(x)的圖象與x軸只有一個交點.
點評:考查利用導數研究函數的單調區(qū)間和極值問題,求函數的單調區(qū)間實質是解不等式,導函數的正負與原函數的單調性之間的關系,即當導函數大于0時原函數單調遞增,當導函數小于0時原函數單調遞減.屬中檔題.