Question

【題目】如圖，在三棱柱中，平面，，點分別在棱和棱上，且為棱的中點．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求二面角的正弦值；

（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

以為原點，分別以的方向為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系.

（Ⅰ）計算出向量和的坐標，得出，即可證明出；

（Ⅱ）可知平面的一個法向量為，計算出平面的一個法向量為，利用空間向量法計算出二面角的余弦值，利用同角三角函數的基本關系可求解結果；

（Ⅲ）利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值.

依題意，以為原點，分別以、、的方向為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標系（如圖），

可得、、、、

、、、、.

（Ⅰ）依題意，，，

從而，所以；

（Ⅱ）依題意，是平面的一個法向量，

，．

設為平面的法向量，

則，即，

不妨設，可得．

，

．

所以，二面角的正弦值為；

（Ⅲ）依題意，．

由（Ⅱ）知為平面的一個法向量，于是．

所以，直線與平面所成角的正弦值為.