【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)在圓上，且圓上的所有點(diǎn)均在橢圓外，若的最小值為，且橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)恰與圓的直徑長(zhǎng)相等，則下列說(shuō)法正確的是（ ）

A.橢圓的焦距為B.橢圓的短軸長(zhǎng)為

C.的最小值為D.過點(diǎn)的圓的切線斜率為

【答案】AD

【解析】

由題意可求得的值，再由圓的幾何性質(zhì)結(jié)合橢圓的定義以及已知條件可求得的值，進(jìn)而可判斷出A、B選項(xiàng)的正誤；利用圓的幾何性質(zhì)可判斷C選項(xiàng)的正誤；設(shè)出切線方程，利用圓心到切線的距離等于半徑可求得切線的斜率，可判斷D選項(xiàng)的正誤.綜合可得出結(jié)論.

圓的圓心為，半徑長(zhǎng)為，

由于橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)恰與圓的直徑長(zhǎng)相等，則，可得，

設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為點(diǎn)，由橢圓的定義可得，，

所以，，

當(dāng)且僅當(dāng)、、、四點(diǎn)共線，且當(dāng)、分別為線段與橢圓、圓的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，

則，，解得，

所以，橢圓的焦距為，A選項(xiàng)正確；

橢圓的短軸長(zhǎng)為，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

，

當(dāng)且僅當(dāng)、、、四點(diǎn)共線，且當(dāng)、分別為線段與橢圓、圓的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

若所求切線的斜率不存在，則直線方程為，圓心到該直線的距離為，則直線與圓相離，不合乎題意；

若所求切線的斜率存在，可設(shè)切線的方程為，即，

由題意可得，整理得，解得.

D選項(xiàng)正確.

故選：AD.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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（Ⅰ）寫出直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線與曲線相交于，兩點(diǎn).若點(diǎn)恰為線段的三等分點(diǎn)，求的值.

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圖1 圖2

A.B.C.D.

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