Question

3．已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)在直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)處，極軸與x軸非負(fù)半軸重合．直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{2+tcosα}\\{1+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cos θ+2sin θ．
（1）寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程，并指明C是什么曲線；
（2）設(shè)直線l與曲線C相交于P，Q兩點(diǎn)，求證|PQ|為定值．

Answer 1

分析 （1）由已知ρ²=ρ（4cos θ+2sin θ）=4ρcos θ+2ρsin θ，利用ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出曲線C的直角坐標(biāo)方程及它表示的曲線．
（2）由已知得直線l過定點(diǎn)（2，1），也就是過圓（x-2）²+（y-1）²=5的圓心，由此能證明|PQ|為定值．

解答 解：（1）∵ρ=4cos θ+2sin θ，
∴ρ²=ρ（4cos θ+2sin θ）=4ρcos θ+2ρsin θ，
由ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，得x²+y²=4x+2y，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為（x-2）²+（y-1）²=5，
它表示以（2，1）為圓心，$\sqrt{5}$為半徑的圓．（5分）
證明：（2）∵直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=1+tsinα}\end{array}\right.$，（t為參數(shù)），
∴直線l過定點(diǎn)（2，1），也就是過圓（x-2）²+（y-1）²=5的圓心，
∴|PQ|=2$\sqrt{5}$，為定值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線的直角坐標(biāo)方程的求法，考查線段為定值的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化公式的合理運(yùn)用．