Question

【題目】已知函數(shù)
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）證明：f（x）在（﹣1，+∞）上為增函數(shù)；
（3）證明：方程f（x）=0沒有負(fù)數(shù)根．

Answer 1

【答案】
（1）解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的定義域?yàn)椋ī仭�，�?）∪（﹣1，+∞）

不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)f（x）是非奇非偶函數(shù)

（2）證明：設(shè)﹣1＜x1＜x2，

，

所以f（x1）﹣f（x2）＜0，

所以f（x）在（﹣1，+∞）上為增函數(shù).

（3）證明：設(shè)x0＜0，且f（x0）=0，則 ，

由f（x0）=0，必須 ，則 ，

與x0＜0矛盾．

所以方程f（x）=0沒有負(fù)數(shù)根.

【解析】（1）首先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可見函數(shù)f（x）的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)f（x）是非奇非偶函數(shù).
（2）利用定義法設(shè)﹣1＜x1＜x2，再比較f（x1）﹣f（x2）與0的關(guān)系，即可證明f（x）在（﹣1，+∞）上為增函數(shù).
（3）利用反證法，設(shè)x0＜0，且f（x0）=0推導(dǎo)出矛盾即可.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)的奇偶性，掌握單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱即可以解答此題．