Question

【題目】定義：若數(shù)列滿足所有的項(xiàng)均由，1構(gòu)成且其中有個(gè)，1有個(gè)，則稱為“數(shù)列”.

（1），，為“數(shù)列”中的任意三項(xiàng)，則使得的取法有多少種？

（2），，為“數(shù)列”中的任意三項(xiàng)，則存在多少正整數(shù)對(duì)使得，且的概率為.

Answer 1

【答案】（1）16種；（2）共有115個(gè)數(shù)對(duì)符合題意.

【解析】

（1）將問題分為“，，1”，“1，1，1”兩種情況，結(jié)合分類計(jì)數(shù)原理，即可容易求得結(jié)果；

（2）根據(jù)古典概型的概率計(jì)算，以及組合數(shù)的計(jì)算，根據(jù)之間的關(guān)系，分類討論解決問題.

（1）三個(gè)數(shù)乘積為1有兩種情況：“，，1”，“1，1，1”，

其中“，，1”共有：種，“1，1，1”共有：種，

利用分類計(jì)數(shù)原理得：

，，為“數(shù)列”中的任意三項(xiàng)，

則使得的取法有：種.

（2）與（1）基本同理，“，，1”共有種，“1，1，1”共有種，

而在“數(shù)列”中任取三項(xiàng)共有種，

根據(jù)古典概型有：，

再根據(jù)組合數(shù)的計(jì)算公式能得到：

，

①時(shí)，應(yīng)滿足，

,,，,3,4,,，共99個(gè)，

②時(shí)，

應(yīng)滿足，

視為常數(shù)，可解得，

，，

根據(jù)可知，，（否則，

下設(shè)，則由于為正整數(shù)知必為正整數(shù)，

，，

化簡上式關(guān)系式可以知道：，

，均為偶數(shù)，設(shè)，，則，

，由于，中必存在偶數(shù)，

只需，中存在數(shù)為3的倍數(shù)即可，

，3，5，6，8，9，11，，23，24，

，11，13，，47，49.

檢驗(yàn)：，符合題意，

共有16個(gè)，

綜上所述：共有115個(gè)數(shù)對(duì)符合題意.