Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°．已知PB=PD=2，PA=

6

．
（Ⅰ）證明：BD⊥面PAC
（Ⅱ）若E為PA的中點，求三菱錐P-BCE的體積．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）連接BD，AC交于O點，分別證明出PO⊥BD，BD⊥AC，根據(jù)線面垂直的判定定理證明出BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）先證明出△ABD≌△PBD，求得PO，根據(jù)勾股定理證明出AC⊥PO，求得△PAC的面積，最后根據(jù)V_P-BCE=V_B-PEC=

1

2

V_B-PAC求得答案．

解答： （Ⅰ）證明：連接BD，AC交于O點，
∵PB=PD，
∴PO⊥BD，
又ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，
∵PO?平面PAC，AC?平面PAC，AC∩PO=O，
∴BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）則AC=2

3

，
∵△ABD和△PBD的三邊長均為2，
∴△ABD≌△PBD，
∴AO=PO=

3

，
∴AO²+PO²=PA²，
∴AC⊥PO，
S_△PAC=

1

2

•AC•PO=3，
V_P-BCE=V_B-PEC=

1

2

V_B-PAC=

1

2

•

1

3

•S_△PAC•BO=

1

2

×

1

3

×3×1=

1

2

．

點評：本題主要考查了線面垂直的判定問題，三棱錐的體積計算．解題過程中注重了對學(xué)生基礎(chǔ)定理的考查．