Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠BAD=60°．已知PB=PD=2，PA=

6

．
（Ⅰ）證明：BD⊥面PAC
（Ⅱ）若E為PA的中點(diǎn)，求三菱錐P-BCE的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）連接BD，AC交于O點(diǎn)，分別證明出PO⊥BD，BD⊥AC，根據(jù)線面垂直的判定定理證明出BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）先證明出△ABD≌△PBD，求得PO，根據(jù)勾股定理證明出AC⊥PO，求得△PAC的面積，最后根據(jù)V_P-BCE=V_B-PEC=

1

2

V_B-PAC求得答案．

解答： （Ⅰ）證明：連接BD，AC交于O點(diǎn)，
∵PB=PD，
∴PO⊥BD，
又ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，
∵PO?平面PAC，AC?平面PAC，AC∩PO=O，
∴BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）則AC=2

3

，
∵△ABD和△PBD的三邊長(zhǎng)均為2，
∴△ABD≌△PBD，
∴AO=PO=

3

，
∴AO²+PO²=PA²，
∴AC⊥PO，
S_△PAC=

1

2

•AC•PO=3，
V_P-BCE=V_B-PEC=

1

2

V_B-PAC=

1

2

•

1

3

•S_△PAC•BO=

1

2

×

1

3

×3×1=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線面垂直的判定問(wèn)題，三棱錐的體積計(jì)算．解題過(guò)程中注重了對(duì)學(xué)生基礎(chǔ)定理的考查．